微分几何:流形、曲线和曲面

微分几何:流形、曲线和曲面
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作者: [法] , [法] ,
2009-07
版次: 1
ISBN: 9787040258011
定价: 68.00
装帧: 平装
开本: 16开
纸张: 胶版纸
页数: 469页
字数: 620千字
正文语种: 简体中文
  •   《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版修订本)》主要由法国资深微分几何学家贝尔热在巴黎大学多年讲授微分几何课程讲稿的基础上编纂而成。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版修订本)》强调几何与分析的有机结合,始终坚持对于分析,揭露其几何实质,而对于几何,则洞察其分析精髓。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版修订本)》对于常微分方程、单位分解、临界点、拓扑度和流形上的微积分等研究微分几何的各种工具做了相当充分的讲解。内容重点是曲线的局部和整体理论,对于曲面的局部和整体理论则做了比较全面的概述,而对于其详尽的证明则推荐相关的文献供读者查阅。书中配备了丰富的习题。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版·修订本)》是基础数学和应用数学系本科生乃至其他理工科学生学习微分流形和微分几何的优秀参考书。   M.贝尔热MarcelBerger(1927),著名的法国数学家,法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所(1HES)所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作,并以书中的精巧论述而见长。 第零章复习和补充
    0.0记号,复习
    0.1外代数
    0.2微分法
    0.3向量空间的开集上的微分形式
    0.4积分法
    0.5习题

    第一章微分方程
    1.1概述
    1.2不依赖时间的微分方程:局部解的存在性
    1.3整体唯一性研究,整体流
    1.4依赖时间的向量场,依赖一个参数的向量场
    1.5唯一性和对于依赖时问的向量场的整体流
    1.6相关知识和线性方程

    第二章微分流形
    2.1Rn的子流形
    2.2抽象流形
    2.3态射
    2.4覆叠映射.商
    2.5切空间
    2.6子流形,浸入,浸没,嵌入
    2.7单位法丛,管形
    2.8习题

    第三章单位分解、密度、曲线
    3.1紧致流形的嵌入
    3.2单位分解
    3.3流形上的密度
    3.4一维连通流形的分类
    3.5流形上的向量场和微分方程
    3.6习题

    第四章临界点
    4.1定义.例子
    4.2数值函数的非退化临界点.莫尔斯的简约
    4.3萨德定理
    4.4习题

    第五章流形上的微分法
    5.1丛以ArT*X
    5.2流形上的微分形式
    5.3最大阶的微分形式和定向
    5.4德拉姆群
    5.5李导数
    5.6星形开集,庞加莱引理
    5.7球面和射影空间的德拉姆群
    5.8环面的德拉姆群
    5.9习题

    第六章流形上的积分法
    6.1d维定向流形上d阶微分形式的积分
    6.2斯托克斯定理
    6.3斯托克斯定理的第一批应用
    6.4欧几里得空问的定向子流形的典范体积形式
    6.5欧几里得空间的定向子流形的体积
    6.6欧几里得空间的子流形的典范密度
    6.7管形的体积Ⅰ:体积形式的补充
    6.8管形的体积Ⅱ
    6.9管形的体积Ⅲ
    6.10习题

    第七章映射度理论
    7.1预备引理
    7.2德拉姆群Rd(x)的确定
    7.3映射度
    7.4映射度对于同伦的不变性.应用
    7.5管形的体积f结尾)和高斯一博内公式
    7.6属于c0(s1;s1)的映射的映射度
    7.7抽象流形上向量场的指标
    7.8习题

    第八章曲线的局部理论
    8.0引言
    8.1定义
    8.2仿射不变量:切线,密切平面,凸性
    8.3长度,欧几里得空间的曲线的弧长参数表示
    8.4欧几里得空间的曲线的曲率
    8.5在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率
    8.6欧几里得空间(3维的)双正则曲线的挠率
    8.7习题

    第九章平面曲线的整体理论
    9.1定义
    9.2若尔当定理
    9.3等周不等式
    9.4平面曲线的回转数
    9.5切线回转定理
    9.6整体凸性
    9.7四顶点定理
    9.8法布里修斯布耶尔哈泊恩公式
    9.9习题

    第十章R0的曲面的局部理论的简短导引
    10.1定义
    10.2例子
    10.3曲面的两个基本形式
    10.4通过第一基本形式计算的量(2维黎曼几何)
    10.5高斯曲率
    10.6第二基本形式以及通过它计算的量
    10.7曲面的两个基本形式之间的关系
    10.8关于Rn+1中的超曲面

    第十一章曲面的整体理论的简短导引
    第一部分2维整体黎曼流形
    11.1最短路径的整体问题
    11.2常曲率的曲面
    11.3度量性质:一阶和二阶变分公式
    11.4最短路径的唯一性和单射半径
    11.5K≥k的流形
    11.6K≤k的流形
    11.7高斯-博内公式和霍普夫公式
    11.8曲面上的等周不等式
    11.9周期测地线和等收缩不等式
    11.10只有周期测地线的曲面
    11.11两部分问的过渡:嵌入和浸入问题
    第二部分嵌入或浸入到R3内的曲面
    11.12零曲率的曲面
    11.13高斯曲率为正或零的曲面
    11.14唯一性和刚性
    11.15K
  • 内容简介:
      《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版修订本)》主要由法国资深微分几何学家贝尔热在巴黎大学多年讲授微分几何课程讲稿的基础上编纂而成。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版修订本)》强调几何与分析的有机结合,始终坚持对于分析,揭露其几何实质,而对于几何,则洞察其分析精髓。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版修订本)》对于常微分方程、单位分解、临界点、拓扑度和流形上的微积分等研究微分几何的各种工具做了相当充分的讲解。内容重点是曲线的局部和整体理论,对于曲面的局部和整体理论则做了比较全面的概述,而对于其详尽的证明则推荐相关的文献供读者查阅。书中配备了丰富的习题。《微分几何:流形、曲线和曲面(第2版·修订本)》是基础数学和应用数学系本科生乃至其他理工科学生学习微分流形和微分几何的优秀参考书。
  • 作者简介:
      M.贝尔热MarcelBerger(1927),著名的法国数学家,法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所(1HES)所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作,并以书中的精巧论述而见长。
  • 目录:
    第零章复习和补充
    0.0记号,复习
    0.1外代数
    0.2微分法
    0.3向量空间的开集上的微分形式
    0.4积分法
    0.5习题

    第一章微分方程
    1.1概述
    1.2不依赖时间的微分方程:局部解的存在性
    1.3整体唯一性研究,整体流
    1.4依赖时间的向量场,依赖一个参数的向量场
    1.5唯一性和对于依赖时问的向量场的整体流
    1.6相关知识和线性方程

    第二章微分流形
    2.1Rn的子流形
    2.2抽象流形
    2.3态射
    2.4覆叠映射.商
    2.5切空间
    2.6子流形,浸入,浸没,嵌入
    2.7单位法丛,管形
    2.8习题

    第三章单位分解、密度、曲线
    3.1紧致流形的嵌入
    3.2单位分解
    3.3流形上的密度
    3.4一维连通流形的分类
    3.5流形上的向量场和微分方程
    3.6习题

    第四章临界点
    4.1定义.例子
    4.2数值函数的非退化临界点.莫尔斯的简约
    4.3萨德定理
    4.4习题

    第五章流形上的微分法
    5.1丛以ArT*X
    5.2流形上的微分形式
    5.3最大阶的微分形式和定向
    5.4德拉姆群
    5.5李导数
    5.6星形开集,庞加莱引理
    5.7球面和射影空间的德拉姆群
    5.8环面的德拉姆群
    5.9习题

    第六章流形上的积分法
    6.1d维定向流形上d阶微分形式的积分
    6.2斯托克斯定理
    6.3斯托克斯定理的第一批应用
    6.4欧几里得空问的定向子流形的典范体积形式
    6.5欧几里得空间的定向子流形的体积
    6.6欧几里得空间的子流形的典范密度
    6.7管形的体积Ⅰ:体积形式的补充
    6.8管形的体积Ⅱ
    6.9管形的体积Ⅲ
    6.10习题

    第七章映射度理论
    7.1预备引理
    7.2德拉姆群Rd(x)的确定
    7.3映射度
    7.4映射度对于同伦的不变性.应用
    7.5管形的体积f结尾)和高斯一博内公式
    7.6属于c0(s1;s1)的映射的映射度
    7.7抽象流形上向量场的指标
    7.8习题

    第八章曲线的局部理论
    8.0引言
    8.1定义
    8.2仿射不变量:切线,密切平面,凸性
    8.3长度,欧几里得空间的曲线的弧长参数表示
    8.4欧几里得空间的曲线的曲率
    8.5在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率
    8.6欧几里得空间(3维的)双正则曲线的挠率
    8.7习题

    第九章平面曲线的整体理论
    9.1定义
    9.2若尔当定理
    9.3等周不等式
    9.4平面曲线的回转数
    9.5切线回转定理
    9.6整体凸性
    9.7四顶点定理
    9.8法布里修斯布耶尔哈泊恩公式
    9.9习题

    第十章R0的曲面的局部理论的简短导引
    10.1定义
    10.2例子
    10.3曲面的两个基本形式
    10.4通过第一基本形式计算的量(2维黎曼几何)
    10.5高斯曲率
    10.6第二基本形式以及通过它计算的量
    10.7曲面的两个基本形式之间的关系
    10.8关于Rn+1中的超曲面

    第十一章曲面的整体理论的简短导引
    第一部分2维整体黎曼流形
    11.1最短路径的整体问题
    11.2常曲率的曲面
    11.3度量性质:一阶和二阶变分公式
    11.4最短路径的唯一性和单射半径
    11.5K≥k的流形
    11.6K≤k的流形
    11.7高斯-博内公式和霍普夫公式
    11.8曲面上的等周不等式
    11.9周期测地线和等收缩不等式
    11.10只有周期测地线的曲面
    11.11两部分问的过渡:嵌入和浸入问题
    第二部分嵌入或浸入到R3内的曲面
    11.12零曲率的曲面
    11.13高斯曲率为正或零的曲面
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