纯数学教程：A Course of Pure Mathematics Centenary Edition

作者: [英] G.H. Hardy 著

出版社: 人民邮电出版社

出版时间: 2009-07

版次: 1

ISBN: 9787115208200

定价: 79.00

装帧: 平装

开本: 16开

纸张: 胶版纸

页数: 485页

字数: 632千字

正文语种: 简体中文

原版书名: A Course of Pure Mathematics Centenary Edition

丛书: 图灵原版数字·统计学系列

分类: 自然科学

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　　《纯数学教程(纪念版)》以简洁易懂的数学语言，全面系统地介绍了基础数学的方方面面，并对许多经典的数学论证给出了严谨的证明。《纯数学教程(纪念版)》共分10章，在介绍了实数、复数的概念后，从第4章和第5章引入了极限的概念，较之一般书的处理方法更为轻松自然、易于接受。另外，《纯数学教程(纪念版)》每章后面配有大量有代表性的杂例，供读者参考练习以巩固所学知识。
　　《纯数学教程(纪念版)》适合每位学习数学以及对数学感兴趣的人学习和阅读。　　哈代（G.H.Hardy），（1877—l947）英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。培养和指导了众多数学大家，其中包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚等。他还著有《数论导引》、《不等式》和《一个数学家的自白》等，前两部著作中译本已由人民邮电出版社出版。第1章实变量
1.实数
2.用直线上的点表示有理数
3.无理数
4.无理数（续）
5.无理数（续）
6.无理数（续）
7.无理数（续）
8.实数
9.实数之间的大小关系
10.实数的代数运算
11.实数的代数运算（续）
12.数sqrt
13.二次根式
14.关于二次根式的某些定理
15.连续统
16.连续的实变量
17.实数的分割
18.极限点
19.Weierstrass定理
第1章杂例

第2章实变函数
20.函数的概念
21.函数的图形表示
22.极坐标
23.函数和它们的图的表示的进一步的例子
24.有理函数
25.有理函数（续）
26.显式代数函数
27.隐式代数函数
28.超越函数
29.其他的超越函数类
30.一元方程的图形解
31.二元函数及其图形表示
32.平面曲线
33.空间中的轨迹
第2章杂例

第3章复数
34.沿直线和在平面上的位移
35.位移的等价与位移的数乘
36.位移的加法
37.位移的乘法
38.位移的乘法（续）
39.复数
40.复数（续）
41.方程i^2=-
42.用i作乘法的几何解释
43.方程z^2+1=0，az^2+2bz+c=
44.Argand图
45.DeMoivre定理
46.几个关于复数的有理函数的定理
47.复数的根
48.方程z^n=a的解
49.DeMoivre定理的一般形式
第3章杂例

第4章正整变量函数的极限
50.一个正整变量的函数
51.插值
52.有限类和无限类
53.当n很大时n的函数所具有的性质
54.当n很大时n的函数所具有的性质（续）
55.习用语“n趋向无穷大”
56.当n趋向无穷大时，n的函数Φ（n）的性状
57.当n趋向无穷大时，n的函数phi（n）的性状（续）
58.极限的定义
59.极限的定义（续）
60.极限的定义（续）
61.关于定义的几个要点
62.振荡函数
63.某些关于极限的一般性的定理
64.定理I的附属结果
65.B.两个性状已知的函数的乘积之性状
66.C.两个性状已知的函数的差以及商的性状
67.定理V
68.定理V（续）
69.以n为变量且与n一起递增的函数
70.对定理的说明
71.第19节中Weierstrass定理的另一证明
72.当n趋向∞时x^n的极限
73.（1+1/n）^n的极限
74.某些代数引理
75.n（sqrt[n]x-1）的极限
76.无穷级数
77.关于无穷级数的一般性定理
78.无穷几何级数
79.用极限来表示一元连续实变函数
80.有界集合的界
81.有界函数的界
82.一个有界函数的不定元的极限
83.有界函数收敛的一般原理
84.无界函数
85.复函数以及复项级数的极限
86.定理的推广
87.z^n当n→∞时的极限，z是任意的复数
88.当z为复数时的几何级数1+z+z^2+...
89.符号O，o，～
第4章杂例

第5章一个连续变量的函数之极限，连续函数和不连续函数
90.x趋向∞时的极限
91.当x趋向-∞时的极限
92.与第4章第63～69节的结论相对应的定理
93.当x趋向0时的极限
94.当x趋向a时的极限
95.递增以及递减的函数
96.不定元的极限以及收敛原理
97.不定元的极限以及收敛原理（续）
98.符号O，o，～：小量和大量的阶
99.一个实变量的连续函数
100.一个实变量的连续函数（续）
101.连续函数的基本性质
102.连续函数的进一步的性质
103.连续函数的取值范围
104.函数在区间中的振幅
105.第103节定理2的另外的证明
106.直线上的区间集合，Heine-Borel定理
107.连续函数的振幅
108.多元连续函数
109.隐函数
110.反函数
第5章杂例

第6章导数和积分
111.导数或者微分系数
112.某些一般性的注解
113.某些一般性的注解（续）
114.微分法的某些一般法则
115.复函数的导数
116.微分学的记号
117.标准形式
118.有理函数
119.代数函数
120.超越函数
121.高阶导数
122.关于导数的某些一般性的定理
123.极大和极小
124.极大和极小（续）
125.极大和极小（续）
126.中值定理
127.中值定理（续）
128.Cauchy中值定理
129.Darboux的一个定理
130.积分
131.实际的积分问题
132.多项式
133.有理函数
134.有理函数的实际积分法的注记
135.代数函数
136.换元积分法和有理化积分法
137.与圆锥曲线有关的积分
138.积分∫dx/sqrt（ax^2+2bx+c）
139.积分∫λx+μ/sqrt（ax^2+2bx+c）dx
140.积分∫（λx+μ）sqrt（ax^2+2bx+c）dx
141.分部积分
142.一般的积分∫R（x，y）dx，其中y^2=ax^2+2bx+c
143.超越函数
144.以x的倍数的余弦以及正弦为变量的多项式
145.积分∫x^ncosxdx，∫x^nsinxdx以及与之相关联的积分
146.cosx和sinx的有理函数
147.包含arcsinx，arctanx以及logx的积分
148.平面曲线的面积
149.平面曲线的长度
第6章杂例

第7章微分学和积分学中另外一些定理
150.更高阶的中值定理
151.Taylor定理的另一形式
152.Taylor级数
153.Taylor定理的应用，A.极大与极小
154.B.某些极限的计算
155.C.平面曲线的切触
156.多元函数的微分法
157.二元函数微分法
158.二元函数的微分（续）
159.二元函数的中值定理
160.微分
161.定积分和面积
162.定积分
163.圆的扇形面积，三角函数
164.由定积分的和式极限的定义计算定积分
165.定积分的一般性质
166.分部积分法和换元积分法
167.用分部积分法证明Taylor定理
168.余项的Cauchy形式对于二项级数的应用
169.定积分的近似公式，Simpson公式
170.单实变复函数的积分
第7章杂例

第8章无穷级数和无穷积分的收敛性
171.引言
172.正项级数
173.正项级数（续）
174.这些判别法的首批应用
175.比值判别法
176.一个重要定理
177.正项级数的乘法
178.进一步的收敛与发散判别法
179.Abel（或者Pringsheim）定理
180.Maclaurin（或者Cauchy）积分判别法
181.级数∑n^-s
182.Cauchy并项判别法
183.进一步的比值判别法
184.无穷积分
185.Φ（x）取正值的情形
186.换元积分法以及分部积分法对无穷积分的应用
187.其他类型的无穷积分
188.其他类型的无穷积分（续）
189.在用变量代换法时需要小心从事
190.有正负项的级数
191.绝对收敛的级数
192.Dirichlet定理对绝对收敛级数的推广
193.条件收敛的级数
194.条件收敛级数的收敛判别法
195.交错级数
196.Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法
197.复数项级数
198.幂级数
199.幂级数（续）
200.幂级数的收敛域，收敛圆
201.幂级数的唯一性
202.级数的乘法
203.绝对收敛和条件收敛的无穷积分
第8章杂例

第9章单实变对数函数、指数函数和三角函数
204.引言
205.logx的定义
206.logx所满足的函数方程
207.当x趋向无穷时logx趋向无穷的方式
208.当x→∞时x^-alogx→0的证明
209.当x→+0时logx的性状
210.无穷大的尺度，对数尺度
211.数e
212.指数函数
213.指数函数的主要性质
214.一般的幂a^x
215.e^x表示为极限
216.logx表示成极限
217.常用对数
218.级数和积分收敛的对数判别法
219.与指数函数以及对数函数有关的级数，用Taylor定理展开e^x
220.对数级数
221.反正切函数的级数
222.二项级数
223.建立指数函数和对数函数理论的另一种方法
224.三角函数的解析理论
225.三角函数的解析理论（续）
226.由第225节的（1）以及第224节的（4）得到
第9章杂例

第10章对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论
227.单复变函数
228.单复变函数（续）
229.实的和复的曲线积分
230.Logζ的定义
231.mboxLogζ的值
232.指数函数
233.expζ的值
234.expζ所满足的函数方程
235.一般的幂a^ζ
236.a^ζ的一般的值
237.正弦和余弦的指数的值
238.sinζ和cosζ于ζ的所有值的定义
239.推广的双曲函数
240.与cos（ξ+iη），sin（ξ+iη）等有关的公式
241.对数函数与反三角函数之间的联系
242.expz的幂级数
243.cosz和sinz的幂级数
244.对数级数
245.对数级数（续）
246.对数级数的某些应用，指数极限
247.二项定理的一般形式
第10章杂例

附录1Hlder不等式和Minkowski不等式
附录2每个方程都有一个根的证明
附录3关于二重极限问题的一个注记
附录4分析与几何中的无穷

索引
内容简介:
　　《纯数学教程(纪念版)》以简洁易懂的数学语言，全面系统地介绍了基础数学的方方面面，并对许多经典的数学论证给出了严谨的证明。《纯数学教程(纪念版)》共分10章，在介绍了实数、复数的概念后，从第4章和第5章引入了极限的概念，较之一般书的处理方法更为轻松自然、易于接受。另外，《纯数学教程(纪念版)》每章后面配有大量有代表性的杂例，供读者参考练习以巩固所学知识。
　　《纯数学教程(纪念版)》适合每位学习数学以及对数学感兴趣的人学习和阅读。
作者简介:
　　哈代（G.H.Hardy），（1877—l947）英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。培养和指导了众多数学大家，其中包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚等。他还著有《数论导引》、《不等式》和《一个数学家的自白》等，前两部著作中译本已由人民邮电出版社出版。
目录:
第1章实变量
1.实数
2.用直线上的点表示有理数
3.无理数
4.无理数（续）
5.无理数（续）
6.无理数（续）
7.无理数（续）
8.实数
9.实数之间的大小关系
10.实数的代数运算
11.实数的代数运算（续）
12.数sqrt
13.二次根式
14.关于二次根式的某些定理
15.连续统
16.连续的实变量
17.实数的分割
18.极限点
19.Weierstrass定理
第1章杂例

第2章实变函数
20.函数的概念
21.函数的图形表示
22.极坐标
23.函数和它们的图的表示的进一步的例子
24.有理函数
25.有理函数（续）
26.显式代数函数
27.隐式代数函数
28.超越函数
29.其他的超越函数类
30.一元方程的图形解
31.二元函数及其图形表示
32.平面曲线
33.空间中的轨迹
第2章杂例

第3章复数
34.沿直线和在平面上的位移
35.位移的等价与位移的数乘
36.位移的加法
37.位移的乘法
38.位移的乘法（续）
39.复数
40.复数（续）
41.方程i^2=-
42.用i作乘法的几何解释
43.方程z^2+1=0，az^2+2bz+c=
44.Argand图
45.DeMoivre定理
46.几个关于复数的有理函数的定理
47.复数的根
48.方程z^n=a的解
49.DeMoivre定理的一般形式
第3章杂例

第4章正整变量函数的极限
50.一个正整变量的函数
51.插值
52.有限类和无限类
53.当n很大时n的函数所具有的性质
54.当n很大时n的函数所具有的性质（续）
55.习用语“n趋向无穷大”
56.当n趋向无穷大时，n的函数Φ（n）的性状
57.当n趋向无穷大时，n的函数phi（n）的性状（续）
58.极限的定义
59.极限的定义（续）
60.极限的定义（续）
61.关于定义的几个要点
62.振荡函数
63.某些关于极限的一般性的定理
64.定理I的附属结果
65.B.两个性状已知的函数的乘积之性状
66.C.两个性状已知的函数的差以及商的性状
67.定理V
68.定理V（续）
69.以n为变量且与n一起递增的函数
70.对定理的说明
71.第19节中Weierstrass定理的另一证明
72.当n趋向∞时x^n的极限
73.（1+1/n）^n的极限
74.某些代数引理
75.n（sqrt[n]x-1）的极限
76.无穷级数
77.关于无穷级数的一般性定理
78.无穷几何级数
79.用极限来表示一元连续实变函数
80.有界集合的界
81.有界函数的界
82.一个有界函数的不定元的极限
83.有界函数收敛的一般原理
84.无界函数
85.复函数以及复项级数的极限
86.定理的推广
87.z^n当n→∞时的极限，z是任意的复数
88.当z为复数时的几何级数1+z+z^2+...
89.符号O，o，～
第4章杂例

第5章一个连续变量的函数之极限，连续函数和不连续函数
90.x趋向∞时的极限
91.当x趋向-∞时的极限
92.与第4章第63～69节的结论相对应的定理
93.当x趋向0时的极限
94.当x趋向a时的极限
95.递增以及递减的函数
96.不定元的极限以及收敛原理
97.不定元的极限以及收敛原理（续）
98.符号O，o，～：小量和大量的阶
99.一个实变量的连续函数
100.一个实变量的连续函数（续）
101.连续函数的基本性质
102.连续函数的进一步的性质
103.连续函数的取值范围
104.函数在区间中的振幅
105.第103节定理2的另外的证明
106.直线上的区间集合，Heine-Borel定理
107.连续函数的振幅
108.多元连续函数
109.隐函数
110.反函数
第5章杂例

第6章导数和积分
111.导数或者微分系数
112.某些一般性的注解
113.某些一般性的注解（续）
114.微分法的某些一般法则
115.复函数的导数
116.微分学的记号
117.标准形式
118.有理函数
119.代数函数
120.超越函数
121.高阶导数
122.关于导数的某些一般性的定理
123.极大和极小
124.极大和极小（续）
125.极大和极小（续）
126.中值定理
127.中值定理（续）
128.Cauchy中值定理
129.Darboux的一个定理
130.积分
131.实际的积分问题
132.多项式
133.有理函数
134.有理函数的实际积分法的注记
135.代数函数
136.换元积分法和有理化积分法
137.与圆锥曲线有关的积分
138.积分∫dx/sqrt（ax^2+2bx+c）
139.积分∫λx+μ/sqrt（ax^2+2bx+c）dx
140.积分∫（λx+μ）sqrt（ax^2+2bx+c）dx
141.分部积分
142.一般的积分∫R（x，y）dx，其中y^2=ax^2+2bx+c
143.超越函数
144.以x的倍数的余弦以及正弦为变量的多项式
145.积分∫x^ncosxdx，∫x^nsinxdx以及与之相关联的积分
146.cosx和sinx的有理函数
147.包含arcsinx，arctanx以及logx的积分
148.平面曲线的面积
149.平面曲线的长度
第6章杂例

第7章微分学和积分学中另外一些定理
150.更高阶的中值定理
151.Taylor定理的另一形式
152.Taylor级数
153.Taylor定理的应用，A.极大与极小
154.B.某些极限的计算
155.C.平面曲线的切触
156.多元函数的微分法
157.二元函数微分法
158.二元函数的微分（续）
159.二元函数的中值定理
160.微分
161.定积分和面积
162.定积分
163.圆的扇形面积，三角函数
164.由定积分的和式极限的定义计算定积分
165.定积分的一般性质
166.分部积分法和换元积分法
167.用分部积分法证明Taylor定理
168.余项的Cauchy形式对于二项级数的应用
169.定积分的近似公式，Simpson公式
170.单实变复函数的积分
第7章杂例

第8章无穷级数和无穷积分的收敛性
171.引言
172.正项级数
173.正项级数（续）
174.这些判别法的首批应用
175.比值判别法
176.一个重要定理
177.正项级数的乘法
178.进一步的收敛与发散判别法
179.Abel（或者Pringsheim）定理
180.Maclaurin（或者Cauchy）积分判别法
181.级数∑n^-s
182.Cauchy并项判别法
183.进一步的比值判别法
184.无穷积分
185.Φ（x）取正值的情形
186.换元积分法以及分部积分法对无穷积分的应用
187.其他类型的无穷积分
188.其他类型的无穷积分（续）
189.在用变量代换法时需要小心从事
190.有正负项的级数
191.绝对收敛的级数
192.Dirichlet定理对绝对收敛级数的推广
193.条件收敛的级数
194.条件收敛级数的收敛判别法
195.交错级数
196.Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法
197.复数项级数
198.幂级数
199.幂级数（续）
200.幂级数的收敛域，收敛圆
201.幂级数的唯一性
202.级数的乘法
203.绝对收敛和条件收敛的无穷积分
第8章杂例

第9章单实变对数函数、指数函数和三角函数
204.引言
205.logx的定义
206.logx所满足的函数方程
207.当x趋向无穷时logx趋向无穷的方式
208.当x→∞时x^-alogx→0的证明
209.当x→+0时logx的性状
210.无穷大的尺度，对数尺度
211.数e
212.指数函数
213.指数函数的主要性质
214.一般的幂a^x
215.e^x表示为极限
216.logx表示成极限
217.常用对数
218.级数和积分收敛的对数判别法
219.与指数函数以及对数函数有关的级数，用Taylor定理展开e^x
220.对数级数
221.反正切函数的级数
222.二项级数
223.建立指数函数和对数函数理论的另一种方法
224.三角函数的解析理论
225.三角函数的解析理论（续）
226.由第225节的（1）以及第224节的（4）得到
第9章杂例

第10章对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论
227.单复变函数
228.单复变函数（续）
229.实的和复的曲线积分
230.Logζ的定义
231.mboxLogζ的值
232.指数函数
233.expζ的值
234.expζ所满足的函数方程
235.一般的幂a^ζ
236.a^ζ的一般的值
237.正弦和余弦的指数的值
238.sinζ和cosζ于ζ的所有值的定义
239.推广的双曲函数
240.与cos（ξ+iη），sin（ξ+iη）等有关的公式
241.对数函数与反三角函数之间的联系
242.expz的幂级数
243.cosz和sinz的幂级数
244.对数级数
245.对数级数（续）
246.对数级数的某些应用，指数极限
247.二项定理的一般形式
第10章杂例

附录1Hlder不等式和Minkowski不等式
附录2每个方程都有一个根的证明
附录3关于二重极限问题的一个注记
附录4分析与几何中的无穷

索引