陶哲轩实分析

陶哲轩实分析
9.4
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作者: [澳]
出版社: 人民邮电出版社
2008-11
版次: 1
ISBN: 9787115186935
定价: 69.00
装帧: 平装
开本: 16开
纸张: 胶版纸
页数: 464页
字数: 580千字
正文语种: 简体中文
原版书名: Analysis
分类: 自然科学
  •   《陶哲轩实分析》的材料与习题紧密结合,目的是使学生能动地学习课程的材料,并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。“我对此书的赞赏,首先是它的逻辑严格。从实数(甚至自然数)讲起,不留任何漏洞。国内外的实分析教科书,认真讲实数的实在不多。其次是陶哲轩认真的教学态度。他的讲述,贯穿严谨、透彻的精神,而其苦口婆心的态度,分外令人感动。第三,此书是基于讲义写成的,我赞赏它的令人读来感到亲切的风格。”
      ——王昆扬,北京师范大学教授
      源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加卅I大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。原著分为两卷,中译本将两卷合并出版。
      全书从分析的源头——数系的结构及集合论开始,然后引向分析的基础,再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析,最后到达Lebesgue积分。这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的,将严格性和直观性完美结合起来。而且课程的材料与习题配合无间,非常便于学习。   本书强调严格性和基础性,书中的材料从源头——数系的结构及集合论开始,然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等),再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析,最后到达Lebesgue积分,这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录.课程的材料与习题紧密结合,的是使学生能动地学习课程的材料,并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。
      本书适合已学过微积分的高年级本科生和研究生学习。 第一部分

    第1章 引论 3
    1.1 什么是分析学 3
    1.2 为什么要做分析 4

    第2章 从头开始:自然数 12
    2.1 Peano公理 13
    2.2 加法 19
    2.3 乘法 23

    第3章 集合论 26
    3.1 基本事项 26
    3.2 Russell悖论(选读) 36
    3.3 函数 38
    3.4 象和逆象 44
    3.5 笛卡儿乘积 48
    3.6 集合的基数 53

    第4章 整数和比例数 59
    4.1 整数 59
    4.2 比例数 65
    4.3 绝对值与指数运算 69
    4.4 比例数中的空隙 72

    第5章 实数 75
    5.1 Cauchy序列 76
    5.2 等价的Cauchy序列 80
    5.3 实数的构造 82
    5.4 给实数编序 89
    5.5 最小上界性质 94
    5.6 实数的指数运算,第I部分 98

    第6章 序列的极限 102
    6.1 收敛及极限的算律 102
    6.2 广义实数系 107
    6.3 序列的上确界和下确界 110
    6.4 上极限、下极限和极限点 112
    6.5 某些基本的极限 118
    6.6 子序列 119
    6.7 实的指数运算,第II部分 122

    第7章 级数 125
    7.1 有限级数 125
    7.2 无限级数 133
    7.3 非负实数的和 138
    7.4 级数的重排 141
    7.5 方根判别法与比例判别法 145

    第8章 无限集合 149
    8.1 可数性 149
    8.2 在无限集合上求和 155
    8.3 不可数的集合 160
    8.4 选择公理 163
    8.5 序集 166

    第9章 R上的连续函数 173
    9.1 实直线的子集合 173
    9.2 实值函数的代数 178
    9.3 函数的极限值 180
    9.4 连续函数 187
    9.5 左极限和右极限 190
    9.6 最大值原理 193
    9.7 中值定理 196
    9.8 单调函数 198
    9.9 一致连续性 200
    9.10 在无限处的极限 205

    第10章 函数的微分 207
    10.1 基本定义 207
    10.2 局部最大、局部最小以及导数 212
    10.3 单调函数及其导数 214
    10.4 反函数及其导数 215
    10.5 LHpital法则 217

    第11章 Riemann积分 220
    11.1 分法 220
    11.2 逐段常值函数 223
    11.3 上Riemann积分与下Riemann积分 227
    11.4 Riemann积分的基本性质 231
    11.5 连续函数的Riemann可积性 235
    11.6 单调函数的Riemann可积性 238
    11.7 一个非Riemann可积的函数 240
    11.8 Riemann-Stieltjes积分 241
    11.9 微积分的两个基本定理 244
    11.10 基本定理的推论 248

    第二部分

    第12章 度量空间 255
    12.1 定义和例 255
    12.2 度量空间的一些点集拓扑知识 262
    12.3 相对拓扑 265
    12.4 Cauchy序列及完备度量空间 267
    12.5 紧致度量空间 269

    第13章 度量空间上的连续函数 274
    13.1 连续函数 274
    13.2 连续性与乘积空间 276
    13.3 连续性与紧致性 279
    13.4 连续性与连通性 280
    13.5 拓扑空间(选读) 283

    第14章 一致收敛 287
    14.1 函数的极限值 287
    14.2 逐点收敛与一致收敛 290
    14.3 一致收敛性与连续性 294
    14.4 一致收敛的度量 296
    14.5 函数级数和WeierstrassM判别法 298
    14.6 一致收敛与积分 300
    14.7 一致收敛和导数 302
    14.8 用多项式一致逼近 305

    第15章 幂级数 312
    15.1 形式幂级数 312
    15.2 实解析函数 314
    15.3 Abel定理 318
    15.4 幂极数的相乘 321
    15.5 指数函数和对数函数 324
    15.6 谈谈复数 327
    15.7 三角函数 333

    第16章 Fourier级数 338
    16.1 周期函数 338
    16.2 周期函数的内积 340
    16.3 三角多项式 343
    16.4 周期卷积 345
    16.5 Fourier定理和Plancherel定理 349

    第17章 多元微分学 354
    17.1 线性变换 354
    17.2 多元微分学中的导数 359
    17.3 偏导数和方向导数 362
    17.4 多元微分链法则 368
    17.5 二重导数与Clairaut定理 371
    17.6 压缩映射定理 373
    17.7 多元反函数定理 375
    17.8 隐函数定理 379

    第18章 Lebesgue测度 384
    18.1 目标:Lebesgue测度 385
    18.2 第一步:外测度 386
    18.3 外测度不是加性的 394
    18.4 可测集 396
    18.5 可测函数 401

    第19章 Lebesgue积分 404
    19.1 简单函数 404
    19.2 非负可测函数的积分 409
    19.3 绝对可积函数的积分 416
    19.4 与Riemann积分比较 420
    19.5 Fubini定理 421

    附录A 数理逻辑基础 426
    附录B 十进制 446
    索引 453
  • 内容简介:
      《陶哲轩实分析》的材料与习题紧密结合,目的是使学生能动地学习课程的材料,并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。“我对此书的赞赏,首先是它的逻辑严格。从实数(甚至自然数)讲起,不留任何漏洞。国内外的实分析教科书,认真讲实数的实在不多。其次是陶哲轩认真的教学态度。他的讲述,贯穿严谨、透彻的精神,而其苦口婆心的态度,分外令人感动。第三,此书是基于讲义写成的,我赞赏它的令人读来感到亲切的风格。”
      ——王昆扬,北京师范大学教授
      源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加卅I大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。原著分为两卷,中译本将两卷合并出版。
      全书从分析的源头——数系的结构及集合论开始,然后引向分析的基础,再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析,最后到达Lebesgue积分。这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的,将严格性和直观性完美结合起来。而且课程的材料与习题配合无间,非常便于学习。
  • 作者简介:
      本书强调严格性和基础性,书中的材料从源头——数系的结构及集合论开始,然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等),再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析,最后到达Lebesgue积分,这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录.课程的材料与习题紧密结合,的是使学生能动地学习课程的材料,并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。
      本书适合已学过微积分的高年级本科生和研究生学习。
  • 目录:
    第一部分

    第1章 引论 3
    1.1 什么是分析学 3
    1.2 为什么要做分析 4

    第2章 从头开始:自然数 12
    2.1 Peano公理 13
    2.2 加法 19
    2.3 乘法 23

    第3章 集合论 26
    3.1 基本事项 26
    3.2 Russell悖论(选读) 36
    3.3 函数 38
    3.4 象和逆象 44
    3.5 笛卡儿乘积 48
    3.6 集合的基数 53

    第4章 整数和比例数 59
    4.1 整数 59
    4.2 比例数 65
    4.3 绝对值与指数运算 69
    4.4 比例数中的空隙 72

    第5章 实数 75
    5.1 Cauchy序列 76
    5.2 等价的Cauchy序列 80
    5.3 实数的构造 82
    5.4 给实数编序 89
    5.5 最小上界性质 94
    5.6 实数的指数运算,第I部分 98

    第6章 序列的极限 102
    6.1 收敛及极限的算律 102
    6.2 广义实数系 107
    6.3 序列的上确界和下确界 110
    6.4 上极限、下极限和极限点 112
    6.5 某些基本的极限 118
    6.6 子序列 119
    6.7 实的指数运算,第II部分 122

    第7章 级数 125
    7.1 有限级数 125
    7.2 无限级数 133
    7.3 非负实数的和 138
    7.4 级数的重排 141
    7.5 方根判别法与比例判别法 145

    第8章 无限集合 149
    8.1 可数性 149
    8.2 在无限集合上求和 155
    8.3 不可数的集合 160
    8.4 选择公理 163
    8.5 序集 166

    第9章 R上的连续函数 173
    9.1 实直线的子集合 173
    9.2 实值函数的代数 178
    9.3 函数的极限值 180
    9.4 连续函数 187
    9.5 左极限和右极限 190
    9.6 最大值原理 193
    9.7 中值定理 196
    9.8 单调函数 198
    9.9 一致连续性 200
    9.10 在无限处的极限 205

    第10章 函数的微分 207
    10.1 基本定义 207
    10.2 局部最大、局部最小以及导数 212
    10.3 单调函数及其导数 214
    10.4 反函数及其导数 215
    10.5 LHpital法则 217

    第11章 Riemann积分 220
    11.1 分法 220
    11.2 逐段常值函数 223
    11.3 上Riemann积分与下Riemann积分 227
    11.4 Riemann积分的基本性质 231
    11.5 连续函数的Riemann可积性 235
    11.6 单调函数的Riemann可积性 238
    11.7 一个非Riemann可积的函数 240
    11.8 Riemann-Stieltjes积分 241
    11.9 微积分的两个基本定理 244
    11.10 基本定理的推论 248

    第二部分

    第12章 度量空间 255
    12.1 定义和例 255
    12.2 度量空间的一些点集拓扑知识 262
    12.3 相对拓扑 265
    12.4 Cauchy序列及完备度量空间 267
    12.5 紧致度量空间 269

    第13章 度量空间上的连续函数 274
    13.1 连续函数 274
    13.2 连续性与乘积空间 276
    13.3 连续性与紧致性 279
    13.4 连续性与连通性 280
    13.5 拓扑空间(选读) 283

    第14章 一致收敛 287
    14.1 函数的极限值 287
    14.2 逐点收敛与一致收敛 290
    14.3 一致收敛性与连续性 294
    14.4 一致收敛的度量 296
    14.5 函数级数和WeierstrassM判别法 298
    14.6 一致收敛与积分 300
    14.7 一致收敛和导数 302
    14.8 用多项式一致逼近 305

    第15章 幂级数 312
    15.1 形式幂级数 312
    15.2 实解析函数 314
    15.3 Abel定理 318
    15.4 幂极数的相乘 321
    15.5 指数函数和对数函数 324
    15.6 谈谈复数 327
    15.7 三角函数 333

    第16章 Fourier级数 338
    16.1 周期函数 338
    16.2 周期函数的内积 340
    16.3 三角多项式 343
    16.4 周期卷积 345
    16.5 Fourier定理和Plancherel定理 349

    第17章 多元微分学 354
    17.1 线性变换 354
    17.2 多元微分学中的导数 359
    17.3 偏导数和方向导数 362
    17.4 多元微分链法则 368
    17.5 二重导数与Clairaut定理 371
    17.6 压缩映射定理 373
    17.7 多元反函数定理 375
    17.8 隐函数定理 379

    第18章 Lebesgue测度 384
    18.1 目标:Lebesgue测度 385
    18.2 第一步:外测度 386
    18.3 外测度不是加性的 394
    18.4 可测集 396
    18.5 可测函数 401

    第19章 Lebesgue积分 404
    19.1 简单函数 404
    19.2 非负可测函数的积分 409
    19.3 绝对可积函数的积分 416
    19.4 与Riemann积分比较 420
    19.5 Fubini定理 421

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