普林斯顿微积分读本(修订版)

普林斯顿微积分读本(修订版)
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作者: [美] , , ,
2016-10
版次: 2
ISBN: 9787115435590
定价: 99.00
装帧: 平装
开本: 16开
纸张: 胶版纸
页数: 648页
正文语种: 简体中文
原版书名: The Calculus Lifesaver:All the Tools You Need to Excel at Calculus
分类: 自然科学
2754人买过
  •   本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
      阿德里安·班纳(Adrian Banner),澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士,普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司,现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时,他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。
    第1 章函数、图像和直线… … … … … … … …1
    1.1 函数… … … … … … … …1
    1.1.1 区间表示法… … … … … … … …3
    1.1.2 求定义域… … … … … … … …3
    1.1.3 利用图像求值域… … … … … … … …4
    1.1.4 垂线检验… … … … … … … …5
    1.2 反函数… … … … … … … …6
    1.2.1 水平线检验… … … … … … … …7
    1.2.2 求反函数… … … … … … … …8
    1.2.3 限制定义域… … … … … … … … 8
    1.2.4 反函数的反函数… … … … … 9
    1.3 函数的复合… … … … … … … … … … … … … 10
    1.4 奇函数和偶函数… … … … … … … … … … 12
    1.5 线性函数的图像… … … … … … … … … … 14
    1.6 常见函数及其图像… … … … … … … … … 16
    第2 章三角学回顾… … … … … … … … … … … … … 21
    2.1 基本知识… … … … … … … … … … … … … … … 21
    2.2 扩展三角函数定义域… … … … … … … 23
    2.2.1 ASTC 方法… … … … … … … … 25
    2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数… … … … … … … … … … … … … 27
    2.3 三角函数的图像… … … … … … … … … … 29
    2.4 三角恒等式… … … … … … … … … … … … … 32
    第3 章极限导论… … … … … … … … … … … … … … … 34
    3.1 极限:基本思想… … … … … … … … … … 34
    3.2 左极限与右极限… … … … … … … … … … 36
    3.3 何时不存在极限… … … … … … … … … … 37
    3.4 在∞和-∞处的极限… … … … … 38
    3.5 关于渐近线的两个常见误解… … … 41
    3.6 三明治定理… … … … … … … … … … … … … 43
    3.7 极限的基本类型小结… … … … … … … 45
    第4 章求解多项式的极限问题… … … … … … 47
    4.1 x → a 时的有理函数的极限… … … 47
    4.2 x → a 时的平方根的极限… … … … 50
    4.3 x → ∞时的有理函数的极限… … 51
    4.4 x → ∞时的多项式型函数的极限… … 56
    4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限… … … … … 59
    4.6 包含绝对值的函数的极限… … … … 61
    第5 章连续性和可导性… … … … … … … … … … 63
    5.1 连续性… … … … … … … … … … … … … … … … 63
    5.1.1 在一点处连续… … … … … … … 63
    5.1.2 在一个区间上连续… … … … 64
    5.1.3 连续函数的一些例子… … 65
    5.1.4 介值定理… … … … … … … … … … 67
    5.1.5 一个更难的介值定理
    例子… … … … … … … … … … … … … 69
    5.1.6 连续函数的最大值和
    最小值… … … … … … … … … … … 70
    5.2 可导性… … … … … … … … … … … … … … … … 71
    5.2.1 平均速率… … … … … … … … … … 72
    5.2.2 位移和速度… … … … … … … … 72
    5.2.3 瞬时速度… … … … … … … … … … 73
    5.2.4 速度的图像阐释… … … … … 74
    5.2.5 切线… … … … … … … … … … … … … 75
    5.2.6 导函数… … … … … … … … … … … 77
    5.2.7 作为极限比的导数… … … … 78
    5.2.8 线性函数的导数… … … … … 80
    5.2.9 二阶导数和更高阶导数… … … … … … … … … … … … … 80
    5.2.10 何时导数不存在… … … … … 81
    5.2.11 可导性和连续性… … … … … 82
    第6 章求解微分问题… … … … … … … … … … … 84
    6.1 使用定义求导… … … … … … … … … … … … 84
    6.2 用更好的办法求导… … … … … … … … … 87
    6.2.1 函数的常数倍… … … … … … … 88
    6.2.2 函数和与函数差… … … … … 88
    6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数… … … … … … … … … … 88
    6.2.4 通过商法则求商函数的导数… … … … … … … … … … 90
    6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数… … … … 91
    6.2.6 那个难以处理的例子… … 94
    6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由… … … … … … … 96
    6.3 求切线方程… … … … … … … … … … … … … 98
    6.4 速度和加速度… … … … … … … … … … … … 99
    6.5 导数伪装的极限… … … … … … … … … … 101
    6.6 分段函数的导数… … … … … … … … … … 103
    6.7 直接画出导函数的图像… … … … … … 106
    第7 章三角函数的极限和导数… … … … … … 111
    7.1 三角函数的极限… … … … … … … … … … 111
    7.1.1 小数的情况… … … … … … … … 111
    7.1.2 问题的求解——小数的情况… … … … … … … … … … … 113
    7.1.3 大数的情况… … … … … … … … 117
    7.1.4 其他的" 情况… … … … … … 120
    7.1.5 一个重要极限的证明… … 121
    7.2 三角函数的导数… … … … … … … … … … 124
    7.2.1 求三角函数导数的例子… … … … … … … … … … … … … 127
    7.2.2 简谐运动… … … … … … … … … … 128
    7.2.3 一个有趣的函数… … … … … 129
    第8 章隐函数求导和相关变化率… … … … 132
    8.1 隐函数求导… … … … … … … … … … … … … 132
    8.1.1 技巧和例子… … … … … … … … 133
    8.1.2 隐函数求二阶导… … … … … 137
    8.2 相关变化率… … … … … … … … … … … … … 138
    8.2.1 一个简单的例子… … … … … 139
    8.2.2 一个稍难的例子… … … … … 141
    8.2.3 一个更难的例子… … … … … 142
    8.2.4 一个非常难的例子… … … … 144
    第9 章指数函数和对数函数… … … … … … … 148
    9.1 基础知识… … … … … … … … … … … … … … … 148
    9.1.1 指数函数的回顾… … … … … 148
    9.1.2 对数函数的回顾… … … … … 149
    9.1.3 对数函数、指数函数及反函数… … … … … … … … … … 150
    9.1.4 对数法则… … … … … … … … … … 151
    9.2 e 的定义… … … … … … … … … … … … … … … 153
    9.2.1 一个有关复利的问题… … 153
    9.2.2 问题的答案… … … … … … … … 154
    9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容… … … … … … … … 156
    9.3 对数函数和指数函数求导… … … … 158
    9.4 求解指数函数或对数函数的极限… … … … … … …… … … … 161
    9.4.1 涉及e 的定义的极限… … 161
    9.4.2 指数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 162
    9.4.3 对数函数在1 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 164
    9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为… … … … … 164
    9.4.5 对数函数在∞附近的行为… … … … … … … … … … … … … 167
    9.4.6 对数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 168
    9.5 取对数求导法… … … … … … … … … … … … 169
    9.6 指数增长和指数衰变… … … … … … … 173
    9.6.1 指数增长… … … … … … … … … … 174
    9.6.2 指数衰变… … … … … … … … … … 176
    9.7 双曲函数… … … … … … … … … … … … … … … 178
    第10 章反函数和反三角函数… … … … … … 181
    10.1 导数和反函数… … … … … … … … … … … 181
    10.1.1 使用导数证明反函数存在… … … … … … … … … … … … 181
    10.1.2 导数和反函数:可能出现的问题… … … … … … … … 182
    10.1.3 求反函数的导数… … … … … 183
    10.1.4 一个综合性例子… … … … … 185
    10.2 反三角函数… … … … … … … … … … … … 187
    10.2.1 反正弦函数… … … … … … … … 187
    10.2.2 反余弦函数… … … … … … … … 190
    10.2.3 反正切函数… … … … … … … … 192
    10.2.4 反正割函数… … … … … … … … 194
    10.2.5 反余割函数和反余切函数… … … … … … … … … … … … 195
    10.2.6 计算反三角函数… … … … … 196
    10.3 反双曲函数… … … … … … … … … … … … 199
    第11 章导数和图像… … … … … … … … … … … … 202
    11.1 函数的极值… … … … … … … … … … … … 202
    11.1.1 全局极值和局部极值… … 202
    11.1.2 极值定理… … … … … … … … … 203
    11.1.3 求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … … 204
    11.2 罗尔定理… … … … … … … … … … … … … … 206
    11.3 中值定理… … … … … … … … … … … … … … 209
    11.4 二阶导数和图像… … … … … … … … … 212
    11.5 对导数为零点的分类… … … … … … 215
    11.5.1 使用一次导数… … … … … … 215
    11.5.2 使用二阶导数… … … … … … 217
    第12 章绘制函数图像… … … … … … … … … … … 219
    12.1 建立符号表格… … … … … … … … … … … 219
    12.1.1 建立一阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 221
    12.1.2 建立二阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 222
    12.2 绘制函数图像的全面方法… … … 224
    12.3 例题… … … … … … … … … … … … … … … … … 225
    12.3.1 一个不使用导数的例子… … … … … … … … … … … … 225
    12.3.2 完整的方法:例一… … … 227
    12.3.3 完整的方法:例二… … … 229
    12.3.4 完整的方法:例三… … … 231
    12.3.5 完整的方法:例四… … … 234
    第13 章最优化和线性化… … … … … … … … … 239
    13.1 最优化… … … … … … … … … … … … … … … 239
    13.1.1 一个简单的最优化例子… … … … … … … … … … … … 239
    13.1.2 最优化问题:一般方法… … … … … … … … … … … … 240
    13.1.3 一个最优化的例子… … … 241
    13.1.4 另一个最优化的例子… … 242
    13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导… … … … … … … … 246
    13.1.6 一个较难的最优化例子… … … … … … … … … … … … 246
    13.2 线性化… … … … … … … … … … … … … … … 249
    13.2.1 线性化问题:一般方法… … … … … … … … … … … … 251
    13.2.2 微分… … … … … … … … … … … … 252
    13.2.3 线性化的总结和例子… … 254
    13.2.4 近似中的误差… … … … … … 256
    13.3 牛顿法… … … … … … … … … … … … … … … 258
    第14 章洛必达法则及极限问题总结… … 263
    14.1 洛必达法则… … … … … … … … … … … … 263
    14.1.1 类型A:0/0 … … … … … … … 263
    14.1.2 类型A:±∞/±∞ … … 266
    14.1.3 类型B1: (∞-∞) … … 267
    14.1.4 类型B2: (0 x±∞) … … 269
    14.1.5 类型C: 1±∞,00 或∞0… … … … 270
    14.1.6 洛必达法则类型的总结… … … … … … … … … … … … 272
    14.2 关于极限的总结… … … … … … … … … 273
    第15 章积分… … … … … … … … … … … … … … … … 276
    15.1 求和符号… … … … … … … … … … … … … … 276
    15.1.1 一个有用的求和… … … … … 279
    15.1.2 伸缩求和法… … … … … … … … 280
    15.2 位移和面积… … … … … … … … … … … … 283
    15.2.1 三个简单的例子… … … … … 283
    15.2.2 一段更常规的旅行… … … 285
    15.2.3 有向面积… … … … … … … … … 287
    15.2.4 连续的速度… … … … … … … … 288
    15.2.5 两个特别的估算… … … … … 291
    第16 章定积分… … … … … … … … … … … … … … … 293
    16.1 基本思想… … … … … … … … … … … … … … 293
    16.2 定积分的定义… … … … … … … … … … … 297
    16.3 定积分的性质… … … … … … … … … … … 301
    16.4 求面积… … … … … … … … … … … … … … … 305
    16.4.1 求通常的面积… … … … … … 306
    16.4.2 求解两条曲线之间的面积… … … … … … … … … … … … 308
    16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积… … … … … … … … … … … 310
    16.5 估算积分… … … … … … … … … … … … … … 313
    16.6 积分的平均值和中值定理… … … 316
    16.7 不可积的函数… … … … … … … … … … … 319
    第17 章微积分基本定理… … … … … … … … … 321
    17.1 用其他函数的积分来表示的函数… … … … … … … … … …… … 321
    17.2 微积分的第一基本定理… … … … … 324
    17.3 微积分的第二基本定理… … … … … 328
    17.4 不定积分… … … … … … … … … … … … … … 329
    17.5 怎样解决问题:微积分的第一基本定理… … … … … … … … … … … … 331
    17.5.1 变形1:变量是积分下限… … … … … … … … … … … … 332
    17.5.2 变形2:积分上限是一个函数… … … … … … … … … 332
    17.5.3 变形3:积分上下限都为函数… … … … … … … … … 334
    17.5.4 变形4:极限伪装成导数… … … … … … … … … … … … 335
    17.6 怎样解决问题:微积分的第二基本定理… … … … … … … … … … … … 336
    17.6.1 计算不定积分… … … … … … 336
    17.6.2 计算定积分… … … … … … … … 339
    17.6.3 面积和绝对值… … … … … … 341
    17.7 技术要点… … … … … … … … … … … … … … 344
    17.8 微积分第一基本定理的证明… … 345
    第18 章积分的方法I… … … … … … … … … … … 347
    18.1 换元法… … … … … … … … … … … … … … … 347
    18.1.1 换元法和定积分… … … … … 350
    18.1.2 如何换元… … … … … … … … … 353
    18.1.3 换元法的理论解释… … … 355
    18.2 分部积分法… … … … … … … … … … … … 356
    18.3 部分分式… … … … … … … … … … … … … … 361
    18.3.1 部分分式的代数运算… … 361
    18.3.2 对每一部分积分… … … … … 365
    18.3.3 方法和一个完整的例子… … … … … … … … … … … … 367
    第19 章积分的方法II … … … … … … … … … … 373
    19.1 应用三角恒等式的积分… … … … … 373
    19.2 关于三角函数的幂的积分… … … 376
    19.2.1 sin 或cos 的幂… … … … … 376
    19.2.2 tan 的幂… … … … … … … … … 378
    19.2.3 sec 的幂… … … … … … … … … … 379
    19.2.4 cot 的幂… … … … … … … … … … 381
    19.2.5 csc 的幂… … … … … … … … … … 382
    19.2.6 约化公式… … … … … … … … … 382
    19.3 关于三角换元法的积分… … … … … 384
    19.3.1 类型1:pa2 ? x2 … … … 384
    19.3.2 类型2:px2 + a2 … … … 386
    19.3.3 类型3:px2 ? a2 … … … 387
    19.3.4 配方和三角换元法… … … 388
    19.3.5 关于三角换元法的总结… … … … … … … … … … … … 389
    19.3.6 平方根的方法和三角换元法… … … … … … … … … … … 389
    19.4 积分技巧总结… … … … … … … … … … … 391
    第20 章反常积分:基本概念… … … … … … 393
    20.1 收敛和发散… … … … … … … … … … … … 393
    20.1.1 反常积分的一些例子… … 395
    20.1.2 其他破裂点… … … … … … … … 397
    20.2 关于无穷区间上的积分… … … … … 398
    20.3 比较判别法(理论)… … … … … … … … 400
    20.4 极限比较判别法(理论)… … … … … 402
    20.4.1 函数互为渐近线… … … … … 402
    20.4.2 关于判别法的陈述… … … 404
    20.5 p 判别法(理论) … … … … … … … … … 405
    20.6 绝对收敛判别法… … … … … … … … … 407
    第21 章反常积分:如何解题… … … … … … 410
    21.1 如何开始… … … … … … … … … … … … … … 410
    21.1.1 拆分积分… … … … … … … … … 410
    21.1.2 如何处理负函数值… … … 411
    21.2 积分判别法总结… … … … … … … … … 413
    21.3 常见函数在∞ 和-∞附近的表现… … … … … … … … … … 414
    21.3.1 多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … … … … … … 415
    21.3.2 三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … 417
    21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现… … … … … … … … … 419
    21.3.4 对数在∞ 附近的表现… … … … … … … … … … … … 422
    21.4 常见函数在0 附近的表现… … … 426
    21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现… … … 426
    21.4.2 三角函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 427
    21.4.3 指数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 429
    21.4.4 对数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 430
    21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现… … … … … … … … … 431
    21.5 如何应对不在0 或1 处的瑕点… … … … … … … … … … …… … … 432
    第22 章数列和级数:基本概念… … … … … 434
    22.1 数列的收敛和发散… … … … … … … … 434
    22.1.1 数列和函数的联系… … … 435
    22.1.2 两个重要数列… … … … … … 436
    22.2 级数的收敛与发散… … … … … … … … 438
    22.3 第n 项判别法(理论) … … … … … … 442
    22.4 无穷级数和反常积分的性质… … 443
    22.4.1 比较判别法(理论) … … … 443
    22.4.2 极限比较判别法(理论) … … … … … … … … … … … 444
    22.4.3 p 判别法(理论)… … … … … 444
    22.4.4 绝对收敛判别法… … … … … 445
    22.5 级数的新判别法… … … … … … … … … 447
    22.5.1 比式判别法(理论) … … … 447
    22.5.2 根式判别法(理论) … … … 449
    22.5.3 积分判别法(理论) … … … 450
    22.5.4 交错级数判别法(理论) … … … … … … … … … … … 453
    第23 章求解级数问题… … … … … … … … … … 455
    23.1 求几何级数的值… … … … … … … … … 455
    23.2 应用第n 项判别法… … … … … … … 457
    23.3 应用比式判别法… … … … … … … … … 457
    23.4 应用根式判别法… … … … … … … … … 461
    23.5 应用积分判别法… … … … … … … … … 462
    23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法… … … … … … … … 463
    23.7 应对含负项的级数… … … … … … … … 468
    第24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论… … … … … … … … … 472
    24.1 近似值和泰勒多项式… … … … … … 472
    24.1.1 重访线性化… … … … … … … … 472
    24.1.2 二次近似… … … … … … … … … 473
    24.1.3 高阶近似… … … … … … … … … 474
    24.1.4 泰勒定理… … … … … … … … … 475
    24.2 幂级数和泰勒级数… … … … … … … … 478
    24.2.1 一般幂级数… … … … … … … … 479
    24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数… … … … … … … … … … … … 481
    24.2.3 泰勒级数的收敛性… … … 481
    24.3 一个有用的极限… … … … … … … … … 485
    第25 章求解估算问题… … … … … … … … … … 487
    25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结… … 487
    25.2 求泰勒多项式与泰勒级数… … … 488
    25.3 用误差项估算问题… … … … … … … … 491
    25.3.1 第一个例子… … … … … … … … 492
    25.3.2 第二个例子… … … … … … … … 494
    25.3.3 第三个例子… … … … … … … … 495
    25.3.4 第四个例子… … … … … … … … 496
    25.3.5 第五个例子… … … … … … … … 497
    25.3.6 误差项估算的一般方法… … … … … … … … … … … … 499
    25.4 误差估算的另一种方法… … … … … 499
    第26 章泰勒级数和幂级数:如何解题… … … … … … … …… … … … … 502
    26.1 幂级数的收敛性… … … … … … … … … 502
    26.1.1 收敛半径… … … … … … … … … 502
    26.1.2 求收敛半径和收敛区域… … … … … … … … … … … … 504
    26.2 合成新的泰勒级数… … … … … … … … 508
    26.2.1 代换和泰勒级数… … … … … 509
    26.2.2 泰勒级数求导… … … … … … 511
    26.2.3 泰勒级数求积分… … … … … 512
    26.2.4 泰勒级数相加和相减… … 514
    26.2.5 泰勒级数相乘… … … … … … 515
    26.2.6 泰勒级数相除… … … … … … 516
    26.3 利用幂级数和泰勒级数求导… … 517
    26.4 利用麦克劳林级数求极限… … … 519
    第27 章参数方程和极坐标… … … … … … … 523
    27.1 参数方程… … … … … … … … … … … … … … 523
    27.2 极坐标… … … … … … … … … … … … … … … 528
    27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换… … … … … … … … … … … … 529
    27.2.2 极坐标系中画曲线… … … 530
    27.2.3 求极坐标曲线的切线… … 534
    27.2.4 求极坐标曲线围成的面积… … … … … … … … … … … … 535
    第28 章复数… … … … … … … … … … … … … … … … 538
    28.1 基础… … … … … … … … … … … … … … … … … 538
    28.2 复平面… … … … … … … … … … … … … … … 541
    28.3 复数的高次幂… … … … … … … … … … … 544
    28.4 解zn = w … … … … … … … … … … … … … 545
    28.5 解ez = w … … … … … … … … … … … … … 550
    28.6 一些三角级数… … … … … … … … … … … 552
    28.7 欧拉恒等式和幂级数… … … … … … 554
    第29 章体积、弧长和表面积… … … … … … 556
    29.1 旋转体的体积… … … … … … … … … … … 556
    29.1.1 圆盘法… … … … … … … … … … … 557
    29.1.2 壳法… … … … … … … … … … … … 558
    29.1.3 总结和变式… … … … … … … … 560
    29.1.4 变式1:区域在曲线和y 轴之间… … … … … … … 561
    29.1.5 变式2:两曲线间的区域… … … … … … … … … … … … 562
    29.1.6 变式3:绕平行于坐标轴的轴旋转… … … … … 565
    29.2 一般立体体积… … … … … … … … … … … 567
    29.3 弧长… … … … … … … … … … … … … … … … … 571
    29.4 旋转体的表面积… … … … … … … … … 574
    第30 章微分方程… … … … … … … … … … … … … 578
    30.1 微分方程导论… … … … … … … … … … … 578
    30.2 可分离变量的一阶微分方程… … 579
    30.3 一阶线性方程… … … … … … … … … … … 581
    30.4 常系数微分方程… … … … … … … … … 585
    30.4.1 解一阶齐次方程… … … … … 586
    30.4.2 解二阶齐次方程… … … … … 586
    30.4.3 为什么特征二次方程适用… … … … … … … … … … … … 587
    30.4.4 非齐次方程和特解… … … 588
    30.4.5 求特解… … … … … … … … … … … 589
    30.4.6 求特解的例子… … … … … … 590
    30.4.7 解决yP 和yH 间的冲突… … … … … … … … … … … … 592
    30.4.8 IVP … … … … … … … … … … … … 593
    30.5 微分方程建模… … … … … … … … … … … 595
    附录A 极限及其证明… … … … … … … … … … 598
    A.1 极限的正式定义… … … … … … … … … … 598
    A.2 由原极限产生新极限… … … … … … … 602
    A.3 极限的其他情形… … … … … … … … … … 606
    A.4 连续与极限… … … … … … … … … … … … … 611
    A.5 再谈指数函数和对数函数… … … … 616
    A.6 微分与极限… … … … … … … … … … … … … 618
    A.7 泰勒近似定理的证明… … … … … … … 627
    附录B 估算积分… … … … … … … … … … … … … 629
    B.1 使用条纹估算积分… … … … … … … … 629
    B.2 梯形法则… … … … … … … … … … … … … … 632
    B.3 辛普森法则… … … … … … … … … … … … … 634
    B.4 近似的误差… … … … … … … … … … … … … 636
    符号列表… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 640
    索引… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 643
  • 内容简介:
      本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
  • 作者简介:
      阿德里安·班纳(Adrian Banner),澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士,普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司,现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时,他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。
  • 目录:
    第1 章函数、图像和直线… … … … … … … …1
    1.1 函数… … … … … … … …1
    1.1.1 区间表示法… … … … … … … …3
    1.1.2 求定义域… … … … … … … …3
    1.1.3 利用图像求值域… … … … … … … …4
    1.1.4 垂线检验… … … … … … … …5
    1.2 反函数… … … … … … … …6
    1.2.1 水平线检验… … … … … … … …7
    1.2.2 求反函数… … … … … … … …8
    1.2.3 限制定义域… … … … … … … … 8
    1.2.4 反函数的反函数… … … … … 9
    1.3 函数的复合… … … … … … … … … … … … … 10
    1.4 奇函数和偶函数… … … … … … … … … … 12
    1.5 线性函数的图像… … … … … … … … … … 14
    1.6 常见函数及其图像… … … … … … … … … 16
    第2 章三角学回顾… … … … … … … … … … … … … 21
    2.1 基本知识… … … … … … … … … … … … … … … 21
    2.2 扩展三角函数定义域… … … … … … … 23
    2.2.1 ASTC 方法… … … … … … … … 25
    2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数… … … … … … … … … … … … … 27
    2.3 三角函数的图像… … … … … … … … … … 29
    2.4 三角恒等式… … … … … … … … … … … … … 32
    第3 章极限导论… … … … … … … … … … … … … … … 34
    3.1 极限:基本思想… … … … … … … … … … 34
    3.2 左极限与右极限… … … … … … … … … … 36
    3.3 何时不存在极限… … … … … … … … … … 37
    3.4 在∞和-∞处的极限… … … … … 38
    3.5 关于渐近线的两个常见误解… … … 41
    3.6 三明治定理… … … … … … … … … … … … … 43
    3.7 极限的基本类型小结… … … … … … … 45
    第4 章求解多项式的极限问题… … … … … … 47
    4.1 x → a 时的有理函数的极限… … … 47
    4.2 x → a 时的平方根的极限… … … … 50
    4.3 x → ∞时的有理函数的极限… … 51
    4.4 x → ∞时的多项式型函数的极限… … 56
    4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限… … … … … 59
    4.6 包含绝对值的函数的极限… … … … 61
    第5 章连续性和可导性… … … … … … … … … … 63
    5.1 连续性… … … … … … … … … … … … … … … … 63
    5.1.1 在一点处连续… … … … … … … 63
    5.1.2 在一个区间上连续… … … … 64
    5.1.3 连续函数的一些例子… … 65
    5.1.4 介值定理… … … … … … … … … … 67
    5.1.5 一个更难的介值定理
    例子… … … … … … … … … … … … … 69
    5.1.6 连续函数的最大值和
    最小值… … … … … … … … … … … 70
    5.2 可导性… … … … … … … … … … … … … … … … 71
    5.2.1 平均速率… … … … … … … … … … 72
    5.2.2 位移和速度… … … … … … … … 72
    5.2.3 瞬时速度… … … … … … … … … … 73
    5.2.4 速度的图像阐释… … … … … 74
    5.2.5 切线… … … … … … … … … … … … … 75
    5.2.6 导函数… … … … … … … … … … … 77
    5.2.7 作为极限比的导数… … … … 78
    5.2.8 线性函数的导数… … … … … 80
    5.2.9 二阶导数和更高阶导数… … … … … … … … … … … … … 80
    5.2.10 何时导数不存在… … … … … 81
    5.2.11 可导性和连续性… … … … … 82
    第6 章求解微分问题… … … … … … … … … … … 84
    6.1 使用定义求导… … … … … … … … … … … … 84
    6.2 用更好的办法求导… … … … … … … … … 87
    6.2.1 函数的常数倍… … … … … … … 88
    6.2.2 函数和与函数差… … … … … 88
    6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数… … … … … … … … … … 88
    6.2.4 通过商法则求商函数的导数… … … … … … … … … … 90
    6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数… … … … 91
    6.2.6 那个难以处理的例子… … 94
    6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由… … … … … … … 96
    6.3 求切线方程… … … … … … … … … … … … … 98
    6.4 速度和加速度… … … … … … … … … … … … 99
    6.5 导数伪装的极限… … … … … … … … … … 101
    6.6 分段函数的导数… … … … … … … … … … 103
    6.7 直接画出导函数的图像… … … … … … 106
    第7 章三角函数的极限和导数… … … … … … 111
    7.1 三角函数的极限… … … … … … … … … … 111
    7.1.1 小数的情况… … … … … … … … 111
    7.1.2 问题的求解——小数的情况… … … … … … … … … … … 113
    7.1.3 大数的情况… … … … … … … … 117
    7.1.4 其他的" 情况… … … … … … 120
    7.1.5 一个重要极限的证明… … 121
    7.2 三角函数的导数… … … … … … … … … … 124
    7.2.1 求三角函数导数的例子… … … … … … … … … … … … … 127
    7.2.2 简谐运动… … … … … … … … … … 128
    7.2.3 一个有趣的函数… … … … … 129
    第8 章隐函数求导和相关变化率… … … … 132
    8.1 隐函数求导… … … … … … … … … … … … … 132
    8.1.1 技巧和例子… … … … … … … … 133
    8.1.2 隐函数求二阶导… … … … … 137
    8.2 相关变化率… … … … … … … … … … … … … 138
    8.2.1 一个简单的例子… … … … … 139
    8.2.2 一个稍难的例子… … … … … 141
    8.2.3 一个更难的例子… … … … … 142
    8.2.4 一个非常难的例子… … … … 144
    第9 章指数函数和对数函数… … … … … … … 148
    9.1 基础知识… … … … … … … … … … … … … … … 148
    9.1.1 指数函数的回顾… … … … … 148
    9.1.2 对数函数的回顾… … … … … 149
    9.1.3 对数函数、指数函数及反函数… … … … … … … … … … 150
    9.1.4 对数法则… … … … … … … … … … 151
    9.2 e 的定义… … … … … … … … … … … … … … … 153
    9.2.1 一个有关复利的问题… … 153
    9.2.2 问题的答案… … … … … … … … 154
    9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容… … … … … … … … 156
    9.3 对数函数和指数函数求导… … … … 158
    9.4 求解指数函数或对数函数的极限… … … … … … …… … … … 161
    9.4.1 涉及e 的定义的极限… … 161
    9.4.2 指数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 162
    9.4.3 对数函数在1 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 164
    9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为… … … … … 164
    9.4.5 对数函数在∞附近的行为… … … … … … … … … … … … … 167
    9.4.6 对数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 168
    9.5 取对数求导法… … … … … … … … … … … … 169
    9.6 指数增长和指数衰变… … … … … … … 173
    9.6.1 指数增长… … … … … … … … … … 174
    9.6.2 指数衰变… … … … … … … … … … 176
    9.7 双曲函数… … … … … … … … … … … … … … … 178
    第10 章反函数和反三角函数… … … … … … 181
    10.1 导数和反函数… … … … … … … … … … … 181
    10.1.1 使用导数证明反函数存在… … … … … … … … … … … … 181
    10.1.2 导数和反函数:可能出现的问题… … … … … … … … 182
    10.1.3 求反函数的导数… … … … … 183
    10.1.4 一个综合性例子… … … … … 185
    10.2 反三角函数… … … … … … … … … … … … 187
    10.2.1 反正弦函数… … … … … … … … 187
    10.2.2 反余弦函数… … … … … … … … 190
    10.2.3 反正切函数… … … … … … … … 192
    10.2.4 反正割函数… … … … … … … … 194
    10.2.5 反余割函数和反余切函数… … … … … … … … … … … … 195
    10.2.6 计算反三角函数… … … … … 196
    10.3 反双曲函数… … … … … … … … … … … … 199
    第11 章导数和图像… … … … … … … … … … … … 202
    11.1 函数的极值… … … … … … … … … … … … 202
    11.1.1 全局极值和局部极值… … 202
    11.1.2 极值定理… … … … … … … … … 203
    11.1.3 求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … … 204
    11.2 罗尔定理… … … … … … … … … … … … … … 206
    11.3 中值定理… … … … … … … … … … … … … … 209
    11.4 二阶导数和图像… … … … … … … … … 212
    11.5 对导数为零点的分类… … … … … … 215
    11.5.1 使用一次导数… … … … … … 215
    11.5.2 使用二阶导数… … … … … … 217
    第12 章绘制函数图像… … … … … … … … … … … 219
    12.1 建立符号表格… … … … … … … … … … … 219
    12.1.1 建立一阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 221
    12.1.2 建立二阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 222
    12.2 绘制函数图像的全面方法… … … 224
    12.3 例题… … … … … … … … … … … … … … … … … 225
    12.3.1 一个不使用导数的例子… … … … … … … … … … … … 225
    12.3.2 完整的方法:例一… … … 227
    12.3.3 完整的方法:例二… … … 229
    12.3.4 完整的方法:例三… … … 231
    12.3.5 完整的方法:例四… … … 234
    第13 章最优化和线性化… … … … … … … … … 239
    13.1 最优化… … … … … … … … … … … … … … … 239
    13.1.1 一个简单的最优化例子… … … … … … … … … … … … 239
    13.1.2 最优化问题:一般方法… … … … … … … … … … … … 240
    13.1.3 一个最优化的例子… … … 241
    13.1.4 另一个最优化的例子… … 242
    13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导… … … … … … … … 246
    13.1.6 一个较难的最优化例子… … … … … … … … … … … … 246
    13.2 线性化… … … … … … … … … … … … … … … 249
    13.2.1 线性化问题:一般方法… … … … … … … … … … … … 251
    13.2.2 微分… … … … … … … … … … … … 252
    13.2.3 线性化的总结和例子… … 254
    13.2.4 近似中的误差… … … … … … 256
    13.3 牛顿法… … … … … … … … … … … … … … … 258
    第14 章洛必达法则及极限问题总结… … 263
    14.1 洛必达法则… … … … … … … … … … … … 263
    14.1.1 类型A:0/0 … … … … … … … 263
    14.1.2 类型A:±∞/±∞ … … 266
    14.1.3 类型B1: (∞-∞) … … 267
    14.1.4 类型B2: (0 x±∞) … … 269
    14.1.5 类型C: 1±∞,00 或∞0… … … … 270
    14.1.6 洛必达法则类型的总结… … … … … … … … … … … … 272
    14.2 关于极限的总结… … … … … … … … … 273
    第15 章积分… … … … … … … … … … … … … … … … 276
    15.1 求和符号… … … … … … … … … … … … … … 276
    15.1.1 一个有用的求和… … … … … 279
    15.1.2 伸缩求和法… … … … … … … … 280
    15.2 位移和面积… … … … … … … … … … … … 283
    15.2.1 三个简单的例子… … … … … 283
    15.2.2 一段更常规的旅行… … … 285
    15.2.3 有向面积… … … … … … … … … 287
    15.2.4 连续的速度… … … … … … … … 288
    15.2.5 两个特别的估算… … … … … 291
    第16 章定积分… … … … … … … … … … … … … … … 293
    16.1 基本思想… … … … … … … … … … … … … … 293
    16.2 定积分的定义… … … … … … … … … … … 297
    16.3 定积分的性质… … … … … … … … … … … 301
    16.4 求面积… … … … … … … … … … … … … … … 305
    16.4.1 求通常的面积… … … … … … 306
    16.4.2 求解两条曲线之间的面积… … … … … … … … … … … … 308
    16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积… … … … … … … … … … … 310
    16.5 估算积分… … … … … … … … … … … … … … 313
    16.6 积分的平均值和中值定理… … … 316
    16.7 不可积的函数… … … … … … … … … … … 319
    第17 章微积分基本定理… … … … … … … … … 321
    17.1 用其他函数的积分来表示的函数… … … … … … … … … …… … 321
    17.2 微积分的第一基本定理… … … … … 324
    17.3 微积分的第二基本定理… … … … … 328
    17.4 不定积分… … … … … … … … … … … … … … 329
    17.5 怎样解决问题:微积分的第一基本定理… … … … … … … … … … … … 331
    17.5.1 变形1:变量是积分下限… … … … … … … … … … … … 332
    17.5.2 变形2:积分上限是一个函数… … … … … … … … … 332
    17.5.3 变形3:积分上下限都为函数… … … … … … … … … 334
    17.5.4 变形4:极限伪装成导数… … … … … … … … … … … … 335
    17.6 怎样解决问题:微积分的第二基本定理… … … … … … … … … … … … 336
    17.6.1 计算不定积分… … … … … … 336
    17.6.2 计算定积分… … … … … … … … 339
    17.6.3 面积和绝对值… … … … … … 341
    17.7 技术要点… … … … … … … … … … … … … … 344
    17.8 微积分第一基本定理的证明… … 345
    第18 章积分的方法I… … … … … … … … … … … 347
    18.1 换元法… … … … … … … … … … … … … … … 347
    18.1.1 换元法和定积分… … … … … 350
    18.1.2 如何换元… … … … … … … … … 353
    18.1.3 换元法的理论解释… … … 355
    18.2 分部积分法… … … … … … … … … … … … 356
    18.3 部分分式… … … … … … … … … … … … … … 361
    18.3.1 部分分式的代数运算… … 361
    18.3.2 对每一部分积分… … … … … 365
    18.3.3 方法和一个完整的例子… … … … … … … … … … … … 367
    第19 章积分的方法II … … … … … … … … … … 373
    19.1 应用三角恒等式的积分… … … … … 373
    19.2 关于三角函数的幂的积分… … … 376
    19.2.1 sin 或cos 的幂… … … … … 376
    19.2.2 tan 的幂… … … … … … … … … 378
    19.2.3 sec 的幂… … … … … … … … … … 379
    19.2.4 cot 的幂… … … … … … … … … … 381
    19.2.5 csc 的幂… … … … … … … … … … 382
    19.2.6 约化公式… … … … … … … … … 382
    19.3 关于三角换元法的积分… … … … … 384
    19.3.1 类型1:pa2 ? x2 … … … 384
    19.3.2 类型2:px2 + a2 … … … 386
    19.3.3 类型3:px2 ? a2 … … … 387
    19.3.4 配方和三角换元法… … … 388
    19.3.5 关于三角换元法的总结… … … … … … … … … … … … 389
    19.3.6 平方根的方法和三角换元法… … … … … … … … … … … 389
    19.4 积分技巧总结… … … … … … … … … … … 391
    第20 章反常积分:基本概念… … … … … … 393
    20.1 收敛和发散… … … … … … … … … … … … 393
    20.1.1 反常积分的一些例子… … 395
    20.1.2 其他破裂点… … … … … … … … 397
    20.2 关于无穷区间上的积分… … … … … 398
    20.3 比较判别法(理论)… … … … … … … … 400
    20.4 极限比较判别法(理论)… … … … … 402
    20.4.1 函数互为渐近线… … … … … 402
    20.4.2 关于判别法的陈述… … … 404
    20.5 p 判别法(理论) … … … … … … … … … 405
    20.6 绝对收敛判别法… … … … … … … … … 407
    第21 章反常积分:如何解题… … … … … … 410
    21.1 如何开始… … … … … … … … … … … … … … 410
    21.1.1 拆分积分… … … … … … … … … 410
    21.1.2 如何处理负函数值… … … 411
    21.2 积分判别法总结… … … … … … … … … 413
    21.3 常见函数在∞ 和-∞附近的表现… … … … … … … … … … 414
    21.3.1 多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … … … … … … 415
    21.3.2 三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … 417
    21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现… … … … … … … … … 419
    21.3.4 对数在∞ 附近的表现… … … … … … … … … … … … 422
    21.4 常见函数在0 附近的表现… … … 426
    21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现… … … 426
    21.4.2 三角函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 427
    21.4.3 指数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 429
    21.4.4 对数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 430
    21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现… … … … … … … … … 431
    21.5 如何应对不在0 或1 处的瑕点… … … … … … … … … … …… … … 432
    第22 章数列和级数:基本概念… … … … … 434
    22.1 数列的收敛和发散… … … … … … … … 434
    22.1.1 数列和函数的联系… … … 435
    22.1.2 两个重要数列… … … … … … 436
    22.2 级数的收敛与发散… … … … … … … … 438
    22.3 第n 项判别法(理论) … … … … … … 442
    22.4 无穷级数和反常积分的性质… … 443
    22.4.1 比较判别法(理论) … … … 443
    22.4.2 极限比较判别法(理论) … … … … … … … … … … … 444
    22.4.3 p 判别法(理论)… … … … … 444
    22.4.4 绝对收敛判别法… … … … … 445
    22.5 级数的新判别法… … … … … … … … … 447
    22.5.1 比式判别法(理论) … … … 447
    22.5.2 根式判别法(理论) … … … 449
    22.5.3 积分判别法(理论) … … … 450
    22.5.4 交错级数判别法(理论) … … … … … … … … … … … 453
    第23 章求解级数问题… … … … … … … … … … 455
    23.1 求几何级数的值… … … … … … … … … 455
    23.2 应用第n 项判别法… … … … … … … 457
    23.3 应用比式判别法… … … … … … … … … 457
    23.4 应用根式判别法… … … … … … … … … 461
    23.5 应用积分判别法… … … … … … … … … 462
    23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法… … … … … … … … 463
    23.7 应对含负项的级数… … … … … … … … 468
    第24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论… … … … … … … … … 472
    24.1 近似值和泰勒多项式… … … … … … 472
    24.1.1 重访线性化… … … … … … … … 472
    24.1.2 二次近似… … … … … … … … … 473
    24.1.3 高阶近似… … … … … … … … … 474
    24.1.4 泰勒定理… … … … … … … … … 475
    24.2 幂级数和泰勒级数… … … … … … … … 478
    24.2.1 一般幂级数… … … … … … … … 479
    24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数… … … … … … … … … … … … 481
    24.2.3 泰勒级数的收敛性… … … 481
    24.3 一个有用的极限… … … … … … … … … 485
    第25 章求解估算问题… … … … … … … … … … 487
    25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结… … 487
    25.2 求泰勒多项式与泰勒级数… … … 488
    25.3 用误差项估算问题… … … … … … … … 491
    25.3.1 第一个例子… … … … … … … … 492
    25.3.2 第二个例子… … … … … … … … 494
    25.3.3 第三个例子… … … … … … … … 495
    25.3.4 第四个例子… … … … … … … … 496
    25.3.5 第五个例子… … … … … … … … 497
    25.3.6 误差项估算的一般方法… … … … … … … … … … … … 499
    25.4 误差估算的另一种方法… … … … … 499
    第26 章泰勒级数和幂级数:如何解题… … … … … … … …… … … … … 502
    26.1 幂级数的收敛性… … … … … … … … … 502
    26.1.1 收敛半径… … … … … … … … … 502
    26.1.2 求收敛半径和收敛区域… … … … … … … … … … … … 504
    26.2 合成新的泰勒级数… … … … … … … … 508
    26.2.1 代换和泰勒级数… … … … … 509
    26.2.2 泰勒级数求导… … … … … … 511
    26.2.3 泰勒级数求积分… … … … … 512
    26.2.4 泰勒级数相加和相减… … 514
    26.2.5 泰勒级数相乘… … … … … … 515
    26.2.6 泰勒级数相除… … … … … … 516
    26.3 利用幂级数和泰勒级数求导… … 517
    26.4 利用麦克劳林级数求极限… … … 519
    第27 章参数方程和极坐标… … … … … … … 523
    27.1 参数方程… … … … … … … … … … … … … … 523
    27.2 极坐标… … … … … … … … … … … … … … … 528
    27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换… … … … … … … … … … … … 529
    27.2.2 极坐标系中画曲线… … … 530
    27.2.3 求极坐标曲线的切线… … 534
    27.2.4 求极坐标曲线围成的面积… … … … … … … … … … … … 535
    第28 章复数… … … … … … … … … … … … … … … … 538
    28.1 基础… … … … … … … … … … … … … … … … … 538
    28.2 复平面… … … … … … … … … … … … … … … 541
    28.3 复数的高次幂… … … … … … … … … … … 544
    28.4 解zn = w … … … … … … … … … … … … … 545
    28.5 解ez = w … … … … … … … … … … … … … 550
    28.6 一些三角级数… … … … … … … … … … … 552
    28.7 欧拉恒等式和幂级数… … … … … … 554
    第29 章体积、弧长和表面积… … … … … … 556
    29.1 旋转体的体积… … … … … … … … … … … 556
    29.1.1 圆盘法… … … … … … … … … … … 557
    29.1.2 壳法… … … … … … … … … … … … 558
    29.1.3 总结和变式… … … … … … … … 560
    29.1.4 变式1:区域在曲线和y 轴之间… … … … … … … 561
    29.1.5 变式2:两曲线间的区域… … … … … … … … … … … … 562
    29.1.6 变式3:绕平行于坐标轴的轴旋转… … … … … 565
    29.2 一般立体体积… … … … … … … … … … … 567
    29.3 弧长… … … … … … … … … … … … … … … … … 571
    29.4 旋转体的表面积… … … … … … … … … 574
    第30 章微分方程… … … … … … … … … … … … … 578
    30.1 微分方程导论… … … … … … … … … … … 578
    30.2 可分离变量的一阶微分方程… … 579
    30.3 一阶线性方程… … … … … … … … … … … 581
    30.4 常系数微分方程… … … … … … … … … 585
    30.4.1 解一阶齐次方程… … … … … 586
    30.4.2 解二阶齐次方程… … … … … 586
    30.4.3 为什么特征二次方程适用… … … … … … … … … … … … 587
    30.4.4 非齐次方程和特解… … … 588
    30.4.5 求特解… … … … … … … … … … … 589
    30.4.6 求特解的例子… … … … … … 590
    30.4.7 解决yP 和yH 间的冲突… … … … … … … … … … … … 592
    30.4.8 IVP … … … … … … … … … … … … 593
    30.5 微分方程建模… … … … … … … … … … … 595
    附录A 极限及其证明… … … … … … … … … … 598
    A.1 极限的正式定义… … … … … … … … … … 598
    A.2 由原极限产生新极限… … … … … … … 602
    A.3 极限的其他情形… … … … … … … … … … 606
    A.4 连续与极限… … … … … … … … … … … … … 611
    A.5 再谈指数函数和对数函数… … … … 616
    A.6 微分与极限… … … … … … … … … … … … … 618
    A.7 泰勒近似定理的证明… … … … … … … 627
    附录B 估算积分… … … … … … … … … … … … … 629
    B.1 使用条纹估算积分… … … … … … … … 629
    B.2 梯形法则… … … … … … … … … … … … … … 632
    B.3 辛普森法则… … … … … … … … … … … … … 634
    B.4 近似的误差… … … … … … … … … … … … … 636
    符号列表… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 640
    索引… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 643
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