变分学讲义

变分学讲义
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作者:
2011-06
版次: 1
ISBN: 9787040319583
定价: 49.00
装帧: 平装
开本: 16开
纸张: 胶版纸
页数: 319页
字数: 350千字
正文语种: 简体中文
分类: 自然科学
124人买过
  • 变分学是数学分析的一个重要组成部分,是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来,变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展,与数学其他分支的联系也更加紧密,已经成为大学数学教育不可缺少的部分。
    《变分学讲义》是作者在北京大学为高年级本科生和低年级研究生开设“变分学”课程所用的讲义。全书共二十讲,分为三大部分:第一部分(一到八讲)是经典变分学的基本内容,第二部分(九到十四讲)重点介绍直接方法及其理论基础,第三部分(十五到二十讲)是专题选讲。其材料的选取,内容的编排,问题与概念的表述,以及证明的分析与讲解均极具特色。
    《变分学讲义》适用于数学及相关专业的本科生、研究生、教师以及研究人员,也可供工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。 前言
    第一讲变分学与变分问题
    §1.1前言
    §1.2泛函
    §1.3典型例子
    §1.4进一步的例子

    第二讲euler-lagrange方程
    §2.1函数极值必要条件之回顾
    §2.2euler-lagrange方程的推导
    §2.3边值条件
    §2.4求解euler-lagrange方程的例子

    第三讲泛函极值的必要条件与充分条件
    §3.1函数极值的再回顾
    §3.2二阶变分
    §3.3legendre-hadamard条件
    §3.4jacobi场
    §3.5共轭点

    第四讲强极小与极值场
    §4.1强极小与弱极小
    §4.2强极小值的必要条件与weierstrass过度函数
    §4.3极值场与强极小值
    §4.4mayer场,hilbert不变积分
    §4.5强极小值的充分条件
    §4.6定理4.4的证明(n]1的情形)

    第五讲hamilton-jacobi理论
    §5.1程函与caratheodory方程组
    §5.2legendre变换
    §5.3hamilton方程组
    §5.4hamilton-jacobi方程
    §5.5jacobi定理

    第六讲含多重积分的变分问题
    §6.1euler-lagrange方程的推导
    §6.2边值条件
    §6.3二阶变分
    §6.4jacobi场

    第七讲约束极值问题
    §7.1等周问题
    §7.2逐点约束
    §7.3变分不等式

    第八讲守恒律与noether定理
    §8.1单参数微分同胚与noether定理
    §8.2能动张量与noether定理
    §8.3内极小
    §8.4应用

    第九讲直接方法
    §9.1dirichlet原理与极小化方法
    §9.2弱收敛与弱收敛
    §9.3弱列紧性
    §9.4自反空间与eberlein-schmulyan定理

    第十讲sobolev空间
    §10.1广义导数
    §10.2空间wm,p(ω)
    §10.3泛函表示
    §10.4光滑化算子
    §10.5sobolev空间的重要性质与嵌入定理
    §10.6euler-lagrange方程

    第十一讲弱下半连续性
    §11.1凸集与凸函数
    §11.2凸性与弱下半连续性
    §11.3一个存在性定理
    §11.4拟凸性

    第十二讲线性微分方程的边值问题与特征值问题
    §12.1线性边值问题与正交投影
    §12.2特征值问题
    §12.3特征展开
    §12.4特征值的极小极大刻画

    第十三讲存在性与正则性
    §13.1正则性(n=1)
    §13.2正则性续(n]1)
    §13.3几个变分问题的求解
    §13.4变分学的局限

    第十四讲对偶作用原理与ekeland变分原理
    §14.1凸函数的共轭函数
    §14.2对偶作用原理
    §14.3ekeland变分原理
    §14.4fr'echet导数与palais-smale条件
    §14.5nehari技巧
    第十五讲山路定理及其推广与应用
    §15.1山路(mountainpass)定理
    §15.2应用

    第十六讲周期解、异宿轨与同宿轨
    §16.1问题
    §16.2周期解
    §16.3异宿轨
    §16.4同宿轨

    第十七讲测地线与极小曲面
    §17.1测地线
    §17.2极小曲面

    第十八讲变分问题的数值方法
    §18.1ritz方法
    §18.2有限元
    §18.3cea定理
    §18.4最优化方法——共轭梯度法

    第十九讲最优控制问题
    §19.1问题的提法
    §19.2pontryagin极大值原理
    §19.3bang-bang原理

    第二十讲有界变差函数与图像恢复
    §20.1一元有界变差函数的回顾
    §20.2多元有界变差函数
    §20.3松弛函数
    §20.4图像恢复与rudin-osher-fatemi模型
    参考文献
    索引
  • 内容简介:
    变分学是数学分析的一个重要组成部分,是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来,变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展,与数学其他分支的联系也更加紧密,已经成为大学数学教育不可缺少的部分。
    《变分学讲义》是作者在北京大学为高年级本科生和低年级研究生开设“变分学”课程所用的讲义。全书共二十讲,分为三大部分:第一部分(一到八讲)是经典变分学的基本内容,第二部分(九到十四讲)重点介绍直接方法及其理论基础,第三部分(十五到二十讲)是专题选讲。其材料的选取,内容的编排,问题与概念的表述,以及证明的分析与讲解均极具特色。
    《变分学讲义》适用于数学及相关专业的本科生、研究生、教师以及研究人员,也可供工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。
  • 目录:
    前言
    第一讲变分学与变分问题
    §1.1前言
    §1.2泛函
    §1.3典型例子
    §1.4进一步的例子

    第二讲euler-lagrange方程
    §2.1函数极值必要条件之回顾
    §2.2euler-lagrange方程的推导
    §2.3边值条件
    §2.4求解euler-lagrange方程的例子

    第三讲泛函极值的必要条件与充分条件
    §3.1函数极值的再回顾
    §3.2二阶变分
    §3.3legendre-hadamard条件
    §3.4jacobi场
    §3.5共轭点

    第四讲强极小与极值场
    §4.1强极小与弱极小
    §4.2强极小值的必要条件与weierstrass过度函数
    §4.3极值场与强极小值
    §4.4mayer场,hilbert不变积分
    §4.5强极小值的充分条件
    §4.6定理4.4的证明(n]1的情形)

    第五讲hamilton-jacobi理论
    §5.1程函与caratheodory方程组
    §5.2legendre变换
    §5.3hamilton方程组
    §5.4hamilton-jacobi方程
    §5.5jacobi定理

    第六讲含多重积分的变分问题
    §6.1euler-lagrange方程的推导
    §6.2边值条件
    §6.3二阶变分
    §6.4jacobi场

    第七讲约束极值问题
    §7.1等周问题
    §7.2逐点约束
    §7.3变分不等式

    第八讲守恒律与noether定理
    §8.1单参数微分同胚与noether定理
    §8.2能动张量与noether定理
    §8.3内极小
    §8.4应用

    第九讲直接方法
    §9.1dirichlet原理与极小化方法
    §9.2弱收敛与弱收敛
    §9.3弱列紧性
    §9.4自反空间与eberlein-schmulyan定理

    第十讲sobolev空间
    §10.1广义导数
    §10.2空间wm,p(ω)
    §10.3泛函表示
    §10.4光滑化算子
    §10.5sobolev空间的重要性质与嵌入定理
    §10.6euler-lagrange方程

    第十一讲弱下半连续性
    §11.1凸集与凸函数
    §11.2凸性与弱下半连续性
    §11.3一个存在性定理
    §11.4拟凸性

    第十二讲线性微分方程的边值问题与特征值问题
    §12.1线性边值问题与正交投影
    §12.2特征值问题
    §12.3特征展开
    §12.4特征值的极小极大刻画

    第十三讲存在性与正则性
    §13.1正则性(n=1)
    §13.2正则性续(n]1)
    §13.3几个变分问题的求解
    §13.4变分学的局限

    第十四讲对偶作用原理与ekeland变分原理
    §14.1凸函数的共轭函数
    §14.2对偶作用原理
    §14.3ekeland变分原理
    §14.4fr'echet导数与palais-smale条件
    §14.5nehari技巧
    第十五讲山路定理及其推广与应用
    §15.1山路(mountainpass)定理
    §15.2应用

    第十六讲周期解、异宿轨与同宿轨
    §16.1问题
    §16.2周期解
    §16.3异宿轨
    §16.4同宿轨

    第十七讲测地线与极小曲面
    §17.1测地线
    §17.2极小曲面

    第十八讲变分问题的数值方法
    §18.1ritz方法
    §18.2有限元
    §18.3cea定理
    §18.4最优化方法——共轭梯度法

    第十九讲最优控制问题
    §19.1问题的提法
    §19.2pontryagin极大值原理
    §19.3bang-bang原理

    第二十讲有界变差函数与图像恢复
    §20.1一元有界变差函数的回顾
    §20.2多元有界变差函数
    §20.3松弛函数
    §20.4图像恢复与rudin-osher-fatemi模型
    参考文献
    索引
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