Pattern Recognition And Machine Learning

Pattern Recognition And Machine Learning
分享
扫描下方二维码分享到微信
打开微信,点击右上角”+“,
使用”扫一扫“即可将网页分享到朋友圈。
作者:
出版社: Springer
2006-08
ISBN: 9780387310732
定价: 1785.10
装帧: 精装
开本: 其他
纸张: 其他
页数: 738页
正文语种: 英语
  • The dramatic growth in practical applications for machine learning over the last ten years has been accompanied by many important developments in the underlying algorithms and techniques. For example, Bayesian methods have grown from a specialist niche to 1 Introduction 1
    1.1 Example: Polynomial Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
    1.2 Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
    1.2.1 Probability densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
    1.2.2 Expectations and covariances . . . . . . . . . . . . . . . . 19
    1.2.3 Bayesian probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
    1.2.4 The Gaussian distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
    1.2.5 Curve fitting re-visited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
    1.2.6 Bayesian curve fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
    1.3 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    1.4 The Curse of Dimensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
    1.5 Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
    1.5.1 Minimizing the misclassification rate . . . . . . . . . . . . 39
    1.5.2 Minimizing the expected loss . . . . . . . . . . . . . . . . 41
    1.5.3 The reject option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
    1.5.4 Inference and decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
    1.5.5 Loss functions for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
    1.6 Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
    1.6.1 Relative entropy and mutual information . . . . . . . . . . 55
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
    2 Probability Distributions 67
    2.1 Binary Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
    2.1.1 The beta distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
    2.2 Multinomial Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
    2.2.1 The Dirichlet distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
    2.3 The Gaussian Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
    2.3.1 Conditional Gaussian distributions . . . . . . . . . . . . . . 85
    2.3.2 Marginal Gaussian distributions . . . . . . . . . . . . . . . 88
    2.3.3 Bayes’ theorem for Gaussian variables . . . . . . . . . . . . 90
    2.3.4 Maximum likelihood for the Gaussian . . . . . . . . . . . . 93
    2.3.5 Sequential estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
    2.3.6 Bayesian inference for the Gaussian . . . . . . . . . . . . . 97
    2.3.7 Student’s t-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
    2.3.8 Periodic variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
    2.3.9 Mixtures of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
    2.4 The Exponential Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
    2.4.1 Maximum likelihood and sufficient statistics . . . . . . . . 116
    2.4.2 Conjugate priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
    2.4.3 Noninformative priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
    2.5 Nonparametric Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
    2.5.1 Kernel density estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
    2.5.2 Nearest-neighbour methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
    3 Linear Models for Regression 137
    3.1 Linear Basis Function Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
    3.1.1 Maximum likelihood and least squares . . . . . . . . . . . . 140
    3.1.2 Geometry of least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
    3.1.3 Sequential learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
    3.1.4 Regularized least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
    3.1.5 Multiple outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
    3.2 The Bias-Variance Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
    3.3 Bayesian Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
    3.3.1 Parameter distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
    3.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
    3.3.3 Equivalent kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
    3.4 Bayesian Model Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
    3.5 The Evidence Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
    3.5.1 Evaluation of the evidence function . . . . . . . . . . . . . 166
    3.5.2 Maximizing the evidence function . . . . . . . . . . . . . . 168
    3.5.3 Effective number of parameters . . . . . . . . . . . . . . . 170
    3.6 Limitations of Fixed Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 172
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
    4 Linear Models for Classification 179
    4.1 Discriminant Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
    4.1.1 Two classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
    4.1.2 Multiple classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
    4.1.3 Least squares for classification . . . . . . . . . . . . . . . . 184
    4.1.4 Fisher’s linear discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
    4.1.5 Relation to least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
    4.1.6 Fisher’s discriminant for multiple classes . . . . . . . . . . 191
    4.1.7 The perceptron algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
    4.2 Probabilistic Generative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
    4.2.1 Continuous inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
    4.2.2 Maximum likelihood solution . . . . . . . . . . . . . . . . 200
    4.2.3 Discrete features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
    4.2.4 Exponential family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
    4.3 Probabilistic Discriminative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
    4.3.1 Fixed basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
    4.3.2 Logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
    4.3.3 Iterative reweighted least squares . . . . . . . . . . . . . . 207
    4.3.4 Multiclass logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
    4.3.5 Probit regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
    4.3.6 Canonical link functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
    4.4 The Laplace Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
    4.4.1 Model comparison and BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
    4.5 Bayesian Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
    4.5.1 Laplace approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
    4.5.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
    5 Neural Networks 225
    5.1 Feed-forward Network Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
    5.1.1 Weight-space symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
    5.2 Network Training . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
    5.2.1 Parameter optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
    5.2.2 Local quadratic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 237
    5.2.3 Use of gradient information . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
    5.2.4 Gradient descent optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 240
    5.3 Error Backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
    5.3.1 Evaluation of error-function derivatives . . . . . . . . . . . 242
    5.3.2 A simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
    5.3.3 Efficiency of backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . 246
    5.3.4 The Jacobian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
    5.4 The Hessian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
    5.4.1 Diagonal approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
    5.4.2 Outer product approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
    5.4.3 Inverse Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
    5.4.4 Finite differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
    5.4.5 Exact evaluation of the Hessian . . . . . . . . . . . . . . . 253
    5.4.6 Fast multiplication by the Hessian . . . . . . . . . . . . . . 254
    5.5 Regularization in Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
    5.5.1 Consistent Gaussian priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
    5.5.2 Early stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
    5.5.3 Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
    5.5.4 Tangent propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
    5.5.5 Training with transformed data . . . . . . . . . . . . . . . . 265
    5.5.6 Convolutional networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
    5.5.7 Soft weight sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
    5.6 Mixture Density Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
    5.7 Bayesian Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
    5.7.1 Posterior parameter distribution . . . . . . . . . . . . . . . 278
    5.7.2 Hyperparameter optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 280
    5.7.3 Bayesian neural networks for classification . . . . . . . . . 281
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
    6 Kernel Methods 291
    6.1 Dual Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
    6.2 Constructing Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
    6.3 Radial Basis Function Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
    6.3.1 Nadaraya-Watson model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
    6.4 Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
    6.4.1 Linear regression revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
    6.4.2 Gaussian processes for regression . . . . . . . . . . . . . . 306
    6.4.3 Learning the hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 311
    6.4.4 Automatic relevance determination . . . . . . . . . . . . . 312
    6.4.5 Gaussian processes for classification . . . . . . . . . . . . . 313
    6.4.6 Laplace approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
    6.4.7 Connection to neural networks . . . . . . . . . . . . . . . . 319
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
    7 Sparse Kernel Machines 325
    7.1 Maximum Margin Classifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
    7.1.1 Overlapping class distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 331
    7.1.2 Relation to logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . 336
    7.1.3 Multiclass SVMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
    7.1.4 SVMs for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
    7.1.5 Computational learning theory . . . . . . . . . . . . . . . . 344
    7.2 Relevance Vector Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
    7.2.1 RVM for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
    7.2.2 Analysis of sparsity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
    7.2.3 RVM for classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
    8 Graphical Models 359
    8.1 Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
    8.1.1 Example: Polynomial regression . . . . . . . . . . . . . . . 362
    8.1.2 Generative models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
    8.1.3 Discrete variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
    8.1.4 Linear-Gaussian models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
    8.2 Conditional Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
    8.2.1 Three example graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
    8.2.2 D-separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
    8.3 Markov Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
    8.3.1 Conditional independence properties . . . . . . . . . . . . . 383
    8.3.2 Factorization properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
    8.3.3 Illustration: Image de-noising . . . . . . . . . . . . . . . . 387
    8.3.4 Relation to directed graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
    8.4 Inference in Graphical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
    8.4.1 Inference on a chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
    8.4.2 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
    8.4.3 Factor graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
    8.4.4 The sum-product algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
    8.4.5 The max-sum algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
    8.4.6 Exact inference in general graphs . . . . . . . . . . . . . . 416
    8.4.7 Loopy belief propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
    8.4.8 Learning the graph structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
    9 Mixture Models and EM 423
    9.1 K-means Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
    9.1.1 Image segmentation and compression . . . . . . . . . . . . 428
    9.2 Mixtures of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
    9.2.1 Maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
    9.2.2 EM for Gaussian mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
    9.3 An Alternative View of EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
    9.3.1 Gaussian mixtures revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
    9.3.2 Relation to K-means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
    9.3.3 Mixtures of Bernoulli distributions . . . . . . . . . . . . . . 444
    9.3.4 EM for Bayesian linear regression . . . . . . . . . . . . . . 448
    9.4 The EM Algorithm in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
    10 Approximate Inference 461
    10.1 Variational Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
    10.1.1 Factorized distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
    10.1.2 Properties of factorized approximations . . . . . . . . . . . 466
    10.1.3 Example: The univariate Gaussian . . . . . . . . . . . . . . 470
    10.1.4 Model comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
    10.2 Illustration: Variational Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . 474
    10.2.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
    10.2.2 Variational lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
    10.2.3 Predictive density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
    10.2.4 Determining the number of components . . . . . . . . . . . 483
    10.2.5 Induced factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
    10.3 Variational Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
    10.3.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
    10.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
    10.3.3 Lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
    10.4 Exponential Family Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
    10.4.1 Variational message passing . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
    10.5 Local Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
    10.6 Variational Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
    10.6.1 Variational posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . 498
    10.6.2 Optimizing the variational parameters . . . . . . . . . . . . 500
    10.6.3 Inference of hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 502
    10.7 Expectation Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
    10.7.1 Example: The clutter problem . . . . . . . . . . . . . . . . 511
    10.7.2 Expectation propagation on graphs . . . . . . . . . . . . . . 513
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
    11 Sampling Methods 523
    11.1 Basic Sampling Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
    11.1.1 Standard distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
    11.1.2 Rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
    11.1.3 Adaptive rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
    11.1.4 Importance sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
    11.1.5 Sampling-importance-resampling . . . . . . . . . . . . . . 534
    11.1.6 Sampling and the EM algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 536
    11.2 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
    11.2.1 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
    11.2.2 The Metropolis-Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . 541
    11.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
    11.4 Slice Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
    11.5 The Hybrid Monte Carlo Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
    11.5.1 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
    11.5.2 Hybrid Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
    11.6 Estimating the Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
    12 Continuous Latent Variables 559
    12.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
    12.1.1 Maximum variance formulation . . . . . . . . . . . . . . . 561
    12.1.2 Minimum-error formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
    12.1.3 Applications of PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
    12.1.4 PCA for high-dimensional data . . . . . . . . . . . . . . . 569
    12.2 Probabilistic PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
    12.2.1 Maximum likelihood PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
    12.2.2 EM algorithm for PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
    12.2.3 Bayesian PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
    12.2.4 Factor analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
    12.3 Kernel PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
    12.4 Nonlinear Latent Variable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
    12.4.1 Independent component analysis . . . . . . . . . . . . . . . 591
    12.4.2 Autoassociative neural networks . . . . . . . . . . . . . . . 592
    12.4.3 Modelling nonlinear manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 595
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
    13 Sequential Data 605
    13.1 Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
    13.2 Hidden Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
    13.2.1 Maximum likelihood for the HMM . . . . . . . . . . . . . 615
    13.2.2 The forward-backward algorithm . . . . . . . . . . . . . . 618
    13.2.3 The sum-product algorithm for the HMM . . . . . . . . . . 625
    13.2.4 Scaling factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
    13.2.5 The Viterbi algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
    13.2.6 Extensions of the hidden Markov model . . . . . . . . . . . 631
    13.3 Linear Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
    13.3.1 Inference in LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
    13.3.2 Learning in LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
    13.3.3 Extensions of LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
    13.3.4 Particle filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
    14 Combining Models 653
    14.1 Bayesian Model Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
    14.2 Committees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
    14.3 Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
    14.3.1 Minimizing exponential error . . . . . . . . . . . . . . . . 659
    14.3.2 Error functions for boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
    14.4 Tree-based Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
    14.5 Conditional Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
    14.5.1 Mixtures of linear regression models . . . . . . . . . . . . . 667
    14.5.2 Mixtures of logistic models . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
    14.5.3 Mixtures of experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
    Appendix A Data Sets 677
    Appendix B Probability Distributions 685
    Appendix C Properties of Matrices 695
    Appendix D Calculus of Variations 703
    Appendix E LagrangeMultipliers 707
    References 711
  • 内容简介:
    The dramatic growth in practical applications for machine learning over the last ten years has been accompanied by many important developments in the underlying algorithms and techniques. For example, Bayesian methods have grown from a specialist niche to
  • 目录:
    1 Introduction 1
    1.1 Example: Polynomial Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
    1.2 Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
    1.2.1 Probability densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
    1.2.2 Expectations and covariances . . . . . . . . . . . . . . . . 19
    1.2.3 Bayesian probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
    1.2.4 The Gaussian distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
    1.2.5 Curve fitting re-visited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
    1.2.6 Bayesian curve fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
    1.3 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    1.4 The Curse of Dimensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
    1.5 Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
    1.5.1 Minimizing the misclassification rate . . . . . . . . . . . . 39
    1.5.2 Minimizing the expected loss . . . . . . . . . . . . . . . . 41
    1.5.3 The reject option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
    1.5.4 Inference and decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
    1.5.5 Loss functions for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
    1.6 Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
    1.6.1 Relative entropy and mutual information . . . . . . . . . . 55
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
    2 Probability Distributions 67
    2.1 Binary Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
    2.1.1 The beta distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
    2.2 Multinomial Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
    2.2.1 The Dirichlet distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
    2.3 The Gaussian Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
    2.3.1 Conditional Gaussian distributions . . . . . . . . . . . . . . 85
    2.3.2 Marginal Gaussian distributions . . . . . . . . . . . . . . . 88
    2.3.3 Bayes’ theorem for Gaussian variables . . . . . . . . . . . . 90
    2.3.4 Maximum likelihood for the Gaussian . . . . . . . . . . . . 93
    2.3.5 Sequential estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
    2.3.6 Bayesian inference for the Gaussian . . . . . . . . . . . . . 97
    2.3.7 Student’s t-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
    2.3.8 Periodic variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
    2.3.9 Mixtures of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
    2.4 The Exponential Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
    2.4.1 Maximum likelihood and sufficient statistics . . . . . . . . 116
    2.4.2 Conjugate priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
    2.4.3 Noninformative priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
    2.5 Nonparametric Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
    2.5.1 Kernel density estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
    2.5.2 Nearest-neighbour methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
    3 Linear Models for Regression 137
    3.1 Linear Basis Function Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
    3.1.1 Maximum likelihood and least squares . . . . . . . . . . . . 140
    3.1.2 Geometry of least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
    3.1.3 Sequential learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
    3.1.4 Regularized least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
    3.1.5 Multiple outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
    3.2 The Bias-Variance Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
    3.3 Bayesian Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
    3.3.1 Parameter distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
    3.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
    3.3.3 Equivalent kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
    3.4 Bayesian Model Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
    3.5 The Evidence Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
    3.5.1 Evaluation of the evidence function . . . . . . . . . . . . . 166
    3.5.2 Maximizing the evidence function . . . . . . . . . . . . . . 168
    3.5.3 Effective number of parameters . . . . . . . . . . . . . . . 170
    3.6 Limitations of Fixed Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 172
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
    4 Linear Models for Classification 179
    4.1 Discriminant Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
    4.1.1 Two classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
    4.1.2 Multiple classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
    4.1.3 Least squares for classification . . . . . . . . . . . . . . . . 184
    4.1.4 Fisher’s linear discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
    4.1.5 Relation to least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
    4.1.6 Fisher’s discriminant for multiple classes . . . . . . . . . . 191
    4.1.7 The perceptron algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
    4.2 Probabilistic Generative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
    4.2.1 Continuous inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
    4.2.2 Maximum likelihood solution . . . . . . . . . . . . . . . . 200
    4.2.3 Discrete features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
    4.2.4 Exponential family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
    4.3 Probabilistic Discriminative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
    4.3.1 Fixed basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
    4.3.2 Logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
    4.3.3 Iterative reweighted least squares . . . . . . . . . . . . . . 207
    4.3.4 Multiclass logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
    4.3.5 Probit regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
    4.3.6 Canonical link functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
    4.4 The Laplace Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
    4.4.1 Model comparison and BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
    4.5 Bayesian Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
    4.5.1 Laplace approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
    4.5.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
    5 Neural Networks 225
    5.1 Feed-forward Network Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
    5.1.1 Weight-space symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
    5.2 Network Training . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
    5.2.1 Parameter optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
    5.2.2 Local quadratic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 237
    5.2.3 Use of gradient information . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
    5.2.4 Gradient descent optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 240
    5.3 Error Backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
    5.3.1 Evaluation of error-function derivatives . . . . . . . . . . . 242
    5.3.2 A simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
    5.3.3 Efficiency of backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . 246
    5.3.4 The Jacobian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
    5.4 The Hessian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
    5.4.1 Diagonal approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
    5.4.2 Outer product approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
    5.4.3 Inverse Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
    5.4.4 Finite differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
    5.4.5 Exact evaluation of the Hessian . . . . . . . . . . . . . . . 253
    5.4.6 Fast multiplication by the Hessian . . . . . . . . . . . . . . 254
    5.5 Regularization in Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
    5.5.1 Consistent Gaussian priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
    5.5.2 Early stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
    5.5.3 Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
    5.5.4 Tangent propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
    5.5.5 Training with transformed data . . . . . . . . . . . . . . . . 265
    5.5.6 Convolutional networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
    5.5.7 Soft weight sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
    5.6 Mixture Density Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
    5.7 Bayesian Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
    5.7.1 Posterior parameter distribution . . . . . . . . . . . . . . . 278
    5.7.2 Hyperparameter optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 280
    5.7.3 Bayesian neural networks for classification . . . . . . . . . 281
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
    6 Kernel Methods 291
    6.1 Dual Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
    6.2 Constructing Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
    6.3 Radial Basis Function Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
    6.3.1 Nadaraya-Watson model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
    6.4 Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
    6.4.1 Linear regression revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
    6.4.2 Gaussian processes for regression . . . . . . . . . . . . . . 306
    6.4.3 Learning the hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 311
    6.4.4 Automatic relevance determination . . . . . . . . . . . . . 312
    6.4.5 Gaussian processes for classification . . . . . . . . . . . . . 313
    6.4.6 Laplace approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
    6.4.7 Connection to neural networks . . . . . . . . . . . . . . . . 319
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
    7 Sparse Kernel Machines 325
    7.1 Maximum Margin Classifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
    7.1.1 Overlapping class distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 331
    7.1.2 Relation to logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . 336
    7.1.3 Multiclass SVMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
    7.1.4 SVMs for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
    7.1.5 Computational learning theory . . . . . . . . . . . . . . . . 344
    7.2 Relevance Vector Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
    7.2.1 RVM for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
    7.2.2 Analysis of sparsity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
    7.2.3 RVM for classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
    8 Graphical Models 359
    8.1 Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
    8.1.1 Example: Polynomial regression . . . . . . . . . . . . . . . 362
    8.1.2 Generative models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
    8.1.3 Discrete variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
    8.1.4 Linear-Gaussian models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
    8.2 Conditional Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
    8.2.1 Three example graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
    8.2.2 D-separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
    8.3 Markov Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
    8.3.1 Conditional independence properties . . . . . . . . . . . . . 383
    8.3.2 Factorization properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
    8.3.3 Illustration: Image de-noising . . . . . . . . . . . . . . . . 387
    8.3.4 Relation to directed graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
    8.4 Inference in Graphical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
    8.4.1 Inference on a chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
    8.4.2 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
    8.4.3 Factor graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
    8.4.4 The sum-product algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
    8.4.5 The max-sum algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
    8.4.6 Exact inference in general graphs . . . . . . . . . . . . . . 416
    8.4.7 Loopy belief propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
    8.4.8 Learning the graph structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
    9 Mixture Models and EM 423
    9.1 K-means Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
    9.1.1 Image segmentation and compression . . . . . . . . . . . . 428
    9.2 Mixtures of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
    9.2.1 Maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
    9.2.2 EM for Gaussian mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
    9.3 An Alternative View of EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
    9.3.1 Gaussian mixtures revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
    9.3.2 Relation to K-means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
    9.3.3 Mixtures of Bernoulli distributions . . . . . . . . . . . . . . 444
    9.3.4 EM for Bayesian linear regression . . . . . . . . . . . . . . 448
    9.4 The EM Algorithm in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
    10 Approximate Inference 461
    10.1 Variational Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
    10.1.1 Factorized distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
    10.1.2 Properties of factorized approximations . . . . . . . . . . . 466
    10.1.3 Example: The univariate Gaussian . . . . . . . . . . . . . . 470
    10.1.4 Model comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
    10.2 Illustration: Variational Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . 474
    10.2.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
    10.2.2 Variational lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
    10.2.3 Predictive density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
    10.2.4 Determining the number of components . . . . . . . . . . . 483
    10.2.5 Induced factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
    10.3 Variational Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
    10.3.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
    10.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
    10.3.3 Lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
    10.4 Exponential Family Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
    10.4.1 Variational message passing . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
    10.5 Local Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
    10.6 Variational Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
    10.6.1 Variational posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . 498
    10.6.2 Optimizing the variational parameters . . . . . . . . . . . . 500
    10.6.3 Inference of hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 502
    10.7 Expectation Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
    10.7.1 Example: The clutter problem . . . . . . . . . . . . . . . . 511
    10.7.2 Expectation propagation on graphs . . . . . . . . . . . . . . 513
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
    11 Sampling Methods 523
    11.1 Basic Sampling Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
    11.1.1 Standard distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
    11.1.2 Rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
    11.1.3 Adaptive rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
    11.1.4 Importance sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
    11.1.5 Sampling-importance-resampling . . . . . . . . . . . . . . 534
    11.1.6 Sampling and the EM algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 536
    11.2 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
    11.2.1 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
    11.2.2 The Metropolis-Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . 541
    11.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
    11.4 Slice Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
    11.5 The Hybrid Monte Carlo Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
    11.5.1 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
    11.5.2 Hybrid Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
    11.6 Estimating the Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
    12 Continuous Latent Variables 559
    12.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
    12.1.1 Maximum variance formulation . . . . . . . . . . . . . . . 561
    12.1.2 Minimum-error formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
    12.1.3 Applications of PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
    12.1.4 PCA for high-dimensional data . . . . . . . . . . . . . . . 569
    12.2 Probabilistic PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
    12.2.1 Maximum likelihood PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
    12.2.2 EM algorithm for PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
    12.2.3 Bayesian PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
    12.2.4 Factor analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
    12.3 Kernel PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
    12.4 Nonlinear Latent Variable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
    12.4.1 Independent component analysis . . . . . . . . . . . . . . . 591
    12.4.2 Autoassociative neural networks . . . . . . . . . . . . . . . 592
    12.4.3 Modelling nonlinear manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 595
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
    13 Sequential Data 605
    13.1 Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
    13.2 Hidden Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
    13.2.1 Maximum likelihood for the HMM . . . . . . . . . . . . . 615
    13.2.2 The forward-backward algorithm . . . . . . . . . . . . . . 618
    13.2.3 The sum-product algorithm for the HMM . . . . . . . . . . 625
    13.2.4 Scaling factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
    13.2.5 The Viterbi algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
    13.2.6 Extensions of the hidden Markov model . . . . . . . . . . . 631
    13.3 Linear Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
    13.3.1 Inference in LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
    13.3.2 Learning in LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
    13.3.3 Extensions of LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
    13.3.4 Particle filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
    14 Combining Models 653
    14.1 Bayesian Model Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
    14.2 Committees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
    14.3 Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
    14.3.1 Minimizing exponential error . . . . . . . . . . . . . . . . 659
    14.3.2 Error functions for boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
    14.4 Tree-based Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
    14.5 Conditional Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
    14.5.1 Mixtures of linear regression models . . . . . . . . . . . . . 667
    14.5.2 Mixtures of logistic models . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
    14.5.3 Mixtures of experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
    Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
    Appendix A Data Sets 677
    Appendix B Probability Distributions 685
    Appendix C Properties of Matrices 695
    Appendix D Calculus of Variations 703
    Appendix E LagrangeMultipliers 707
    References 711
查看详情