微积分系列：微积分溯源+普林斯顿微积分+简单微积分+微积分入门+微积分的历程套装共5册

作者: [美] 戴维·M. 布雷苏(David M. Bressoud) (美)阿德里安·班纳 (日)神永正博 (日)小平邦彦 (美)William Dunham 著

出版社: 人民邮电出版社

出版时间: 2023-04

版次: 1

ISBN: 9787115007971

定价: 386.60

装帧: 其他

开本: 其他

纸张: 胶版纸

分类: 自然科学

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《微积分溯源：伟大思想的历程》


  本书讲述了一种理解和学习微积分的新思路。书中通过探索微积分发展历程背后的数学动机，展现了这一数学基本工具的魅力。作者根据自己研究和教授微积分的丰富经验，结合多年从事中学和大学数学教育的心得体会，对传统的微积分教学方式，即大多按照从极限、微分、积分到级数的顺序进行学习的方法提出了异议，探讨了一种更有趣、更易被接受和理解的学习方法。作者写过不少富有启发意义的微积分教材，此次利用自己在教学与研究方面的特长，写成了这本内容丰富、风格有趣的\"小书\"。本书适合中学以上水平的数学爱好者、学生和教师阅读。
  《普林斯顿微积分读本（修订版）》


  本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
  《简单微积分学校未教过的超简易入门技巧》


  本书为微积分入门科普读物，书中以微积分的\"思考方法\"为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需\"轻松阅读\"便可以理解微积分原理的入门书。
  《微积分入门修订版》

   微积分入门为日本数学家小平邦彦晚年创作的微积分名作，有别于一般的微积分教科书，本书突出\"严密\"与\"直观\"的结合，重视数学中的\"和谐\"与\"美感\"，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。

  本书是小平邦彦为后人留下的一份重要文化财富，不仅值得数学专业人士研读，对于需要微积分知识的其他理工科学生和专业人员也具有深刻启示。
  《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

  本书介绍了十多位数学家：牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格。然而，这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。作者选择介绍了历史上的若干杰作（重要定理），优雅地呈现了微积分从创建到完善的漫长、曲折的过程。《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》兼具趣味性和学术性，对基础知识的要求很低，可作为本科生、研究生和数学工作者的微积分补充读物，更是数学爱好者的佳肴。 [美] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

美国玛卡莱斯特学院数学教授，数学教学委员会主任，曾担任美国数学协会（MAA）会长，著有《高等微积分》《实分析的基本方法》等数学教材，并获得美国数学协会的多项奖项，如1994年阿勒格尼山脉杰出教学奖、1999年贝肯巴赫图书奖等。主要研究领域为数论、组合学、特殊函数等。[美]阿德里安·班纳（Adrian Banner）  澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司执行官兼投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。[日]神永正博（Kunihiko Kodaira）

1967年出生于东京，理学博士，日本东北学院大学教授。曾在京都大学研究生院理学研究所（数学方向）进行博士后期课程学习。主要研究方向为解析学（作为量子力学基础方程式的薛定谔方程）以及密码理论。主要作品有《看穿谎言的统计学》《数学思考法》，另外审阅翻译的作品有《漫画统计学入门》等。[日]小平邦彦（Kunihiko Kodaira）

1915—1997，20世纪日本数学家，日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等高校任教授，在调和积分理论、代数几何学和复分析几何学等诸多领域做出了贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《几何世界的邀请》《惰者集：数学与数感》等。

[美]邓纳姆（William Dunham），世界出名的数学史学家，现为美国穆伦堡学院教授。Dunrlam教授著述颇丰，较有影响的名作还有Journey Through Genius：The Great Theorems of athematics和The Mathematical LIniverse，后者被美国出版商协会评为1994.年年度数学书。Dunham还分别于1992年、1997年、2006年获得美国数学协会颁发的George Polya奖、Trevor Evarls奖和Lester R.Ford奖。《微积分溯源：伟大思想的历程》

目录

第一章累积　1

1.1　阿基米德和球的体积　1

1.2　圆的面积和阿基米德原理　6

1.3　阿拉伯的贡献　10

1.4　二项式定理　15

1.5　西欧　17

1.6　卡瓦列里和积分公式　20

1.7　费马的积分和托里拆利的奇异几何体　23

1.8　速度和路程　27

1.9　艾萨克·贝克曼　30

1.10　伽利略·伽利雷和天体运动问题　32

1.11　解决天体运动问题　35

1.12　开普勒第二定律　38

1.13　牛顿的《自然哲学之数学原理》　41

第二章　变化率　44

2.1　插值　45

2.2　纳皮尔和他的自然对数表　50

2.3　代数的出现　57

2.4　解析几何　63

2.5　皮埃尔·德·费马　67

2.6　沃利斯和他的《无穷小算术》　73

2.7　牛顿和基本定理　79

2.8　莱布尼茨和伯努利家族　82

2.9　函数、微分方程　85

2.10　弦振动问题　90

2.11　势能　93

2.12　电磁学中的数学　94

第三章　部分和序列　98

3.1　17 世纪的级数　100

3.2　泰勒级数　104

3.3　欧拉　109

3.4　达朗贝尔、敛散性问题　114

3.5　拉格朗日余项定理　117

3.6　傅里叶级数　123

第四章　不等式的代数　129

4.1　极限和不等式　130

4.2　柯西和他的 -溆镅浴 132

4.3　完备性　136

4.4　连续性　138

4.5　一致收敛性　141

4.6　积分　144

第五章　分析　149

5.1　黎曼积分　149

5.2　微积分基本定理的反例　151

5.3　魏尔施特拉斯和椭圆函数　156

5.4　实数的子集　161

5.5　附言: 20 世纪　165

第六章　对微积分教学的思考　169

6.1　积分讲授为累积　169

6.2　导数讲授为变化率　171

6.3　无穷级数讲授为部分和序列　173

6.4　极限讲授为不等式的代数　174

第七章　最后的话　177

译后记　179

参考文献　185

《普林斯顿微积分读本（修订版）》

第　1 章函数、图像和直线　1

1.1　函数　1

1.1.1　区间表示法　3

1.1.2　求定义域　3

1.1.3　利用图像求值域　4

1.1.4　垂线检验　5

1.2　反函数　6

1.2.1　水平线检验　7

1.2.2　求反函数　8

1.2.3　限制定义域　8

1.2.4　反函数的反函数　9

1.3　函数的复合　10

1.4　奇函数和偶函数　12

1.5　线性函数的图像　14

1.6　常见函数及其图像　16

第　2 章三角学回顾　21

2.1　基本知识　21

2.2　扩展三角函数定义域　23

2.2.1　ASTC 方法　25

2.2.2　[0, 2餧以外的三角函数　27

2.3　三角函数的图像　29

2.4　三角恒等式　32

第 3 章极限导论　34

3.1　极限：基本思想　34

3.2　左极限与右极限　36

3.3　何时不存在极限　37

3.4　在∞和-∞处的极限　38

3.5　关于渐近线的两个常见误解　41

3.6　三明治定理　43

3.7　极限的基本类型小结　45

第 4 章求解多项式的极限问题　47

4.1　x → a 时的有理函数的极限　47

4.2　x → a 时的平方根的极限　50

4.3　x → ∞时的有理函数的极限　51

4.4　x → ∞时的多项式型函数的极限　56

4.5　x → -∞ 时的有理函数的极限　59

4.6　函数的极限　61

第 5 章连续性和可导性　63

5.1　连续性　63

5.1.1　在一点处连续　63

5.1.2　在一个区间上连续　64

5.1.3　连续函数的一些例子　65

5.1.4　介值定理　67

5.1.5　一个更难的介值定理例子　69

5.1.6　连续函数的最大值和最小值　70

5.2　可导性　71

5.2.1　平均速率　72

5.2.2　位移和速度　72

5.2.3　瞬时速度　73

5.2.4　速度的图像阐释　74

5.2.5　切线　75

5.2.6　导函数　77

5.2.7　作为极限比的导数　78

5.2.8　线性函数的导数　80

5.2.9　二阶导数和更高阶导数　80

5.2.10　何时导数不存在　81

5.2.11　可导性和连续性　82

第 6 章求解微分问题　84

6.1　使用定义求导　84

6.2　用更好的办法求导　87

6.2.1　函数的常数倍　88

6.2.2　函数和与函数差　88

6.2.3　通过乘积法则求积函数的导数　88

6.2.4　通过商法则求商函数的导数　90

6.2.5　通过链式求导法则求复合函数的导数　91

6.2.6　那个难以处理的例子　94

6.2.7　乘积法则和链式求导法则的理由　96

6.3　求切线方程　98

6.4　速度和加速度　99

6.5　导数伪装的极限　101

6.6　分段函数的导数　103

6.7　直接画出导函数的图像　106

第 7 章三角函数的极限和导数　111

7.1　三角函数的极限　111

7.1.1　小数的情况　111

7.1.2　问题的求解--小数的情况　113

7.1.3　大数的情况　117

7.1.4　其他的\" 情况　120

7.1.5　一个重要极限的证明　121

7.2　三角函数的导数　124

7.2.1　求三角函数导数的例子　127

7.2.2　简谐运动　128

7.2.3　一个有趣的函数　129

第 8 章隐函数求导和相关变化率　132

8.1　隐函数求导　132

8.1.1　技巧和例子　133

8.1.2　隐函数求二阶导　137

8.2　相关变化率　138

8.2.1　一个简单的例子　139

8.2.2　一个稍难的例子　141

8.2.3　一个更难的例子　142

8.2.4　一个非常难的例子　144

第 9 章指数函数和对数函数　148

9.1　基础知识　148

9.1.1　指数函数的回顾　148

9.1.2　对数函数的回顾　149

9.1.3　对数函数、指数函数及反函数　150

9.1.4　对数法则　151

9.2　e 的定义　153

9.2.1　一个有关复利的问题　153

9.2.2　问题的答案　154

9.2.3　更多关于e 和对数函数的内容　156

9.3　对数函数和指数函数求导　158

9.4　求解指数函数或对数函数的极限　161

9.4.1　涉及e 的定义的极限　161

9.4.2　指数函数在0 附近的行为　162

9.4.3　对数函数在1 附近的行为　164

9.4.4　指数函数在∞或-∞附近的行为　164

9.4.5　对数函数在∞附近的行为　167

9.4.6　对数函数在0 附近的行为　168

9.5　取对数求导法　169

9.6　指数增长和指数衰变　173

9.6.1　指数增长　174

9.6.2　指数衰变　176

9.7　双曲函数　178

第 10 章反函数和反三角函数　181

10.1　导数和反函数　181

10.1.1　使用导数证明反函数存在　181

10.1.2　导数和反函数：可能出现的问题　182

10.1.3　求反函数的导数　183

10.1.4　一个综合性例子　185

10.2　反三角函数　187

10.2.1　反正弦函数　187

10.2.2　反余弦函数　190

10.2.3　反正切函数　192

10.2.4　反正割函数　194

10.2.5　反余割函数和反余切函数　195

10.2.6　计算反三角函数　196

10.3　反双曲函数　199

第 11 章导数和图像　202

11.1　函数的极值　202

11.1.1　全局极值和局部极值　202

11.1.2　极值定理　203

11.1.3　求全局**大值和**小值　204

11.2　罗尔定理　206

11.3　中值定理　209

11.4　二阶导数和图像　212

11.5　对导数为零点的分类　215

11.5.1　使用一次导数　215

11.5.2　使用二阶导数　217

第　12 章绘制函数图像　219

12.1　建立符号表格　219

12.1.1　建立一阶导数的符号表格　221

12.1.2　建立二阶导数的符号表格　222

12.2　绘制函数图像的全面方法　224

12.3　例题　225

12.3.1　一个不使用导数的例子　225

12.3.2　完整的方法：例一　227

12.3.3　完整的方法：例二　229

12.3.4　完整的方法：例三　231

12.3.5　完整的方法：例四　234

第　13 章优化和线性化　239

13.1　优化　239

13.1.1　一个简单的优化例子　239

13.1.2　优化问题：一般方法　240

13.1.3　一个优化的例子　241

13.1.4　另一个优化的例子　242

13.1.5　在优化问题中使用隐函数求导　246

13.1.6　一个较难的优化例子　246

13.2　线性化　249

13.2.1　线性化问题：一般方法　251

13.2.2　微分　252

13.2.3　线性化的总结和例子　254

13.2.4　近似中的误差　256

13.3　牛顿法　258

第　14 章洛必达法则及极限问题总结　263

14.1　洛必达法则　263

14.1.1　类型A：0/0　263

14.1.2　类型A：±∞/±∞　266

14.1.3　类型B1: (∞-∞)　267

14.1.4　类型B2: (0 x±∞)　269

14.1.5　类型C: 1±∞，00 或∞0　270

14.1.6　洛必达法则类型的总结　272

14.2　关于极限的总结　273

第　15 章积分　276

15.1　求和符号　276

15.1.1　一个有用的求和　279

15.1.2　伸缩求和法　280

15.2　位移和面积　283

15.2.1　三个简单的例子　283

15.2.2　一段更常规的旅行　285

15.2.3　有向面积　287

15.2.4　连续的速度　288

15.2.5　两个特别的估算　291

第　16 章定积分　293

16.1　基本思想　293

16.2　定积分的定义　297

16.3　定积分的性质　301

16.4　求面积　305

16.4.1　求通常的面积　306

16.4.2　求解两条曲线之间的面积　308

16.4.3　求曲线与y 轴所围成的面积　310

16.5　估算积分　313

16.6　积分的平均值和中值定理　316

16.7　不可积的函数　319

第　17 章微积分基本定理　321

17.1　用其他函数的积分来表示的函数　321

17.2　微积分的第一基本定理　324

17.3　微积分的第二基本定理　328

17.4　不定积分　329

17.5　怎样解决问题：微积分的第一基本定理　331

17.5.1　变形1：变量是积分下限　332

17.5.2　变形2：积分上限是一个函数　332

17.5.3　变形3：积分上下限都为函数　334

17.5.4　变形4：极限伪装成导数　335

17.6　怎样解决问题：微积分的第二基本定理　336

17.6.1　计算不定积分　336

17.6.2　计算定积分　339

17.6.3　面积和　341

17.7　技术要点　344

17.8　微积分第一基本定理的证明　345

第　18 章积分的方法I　347

18.1　换元法　347

18.1.1　换元法和定积分　350

18.1.2　如何换元　353

18.1.3　换元法的理论解释　355

18.2　分部积分法　356

18.3　部分分式　361

18.3.1　部分分式的代数运算　361

18.3.2　对每一部分积分　365

18.3.3　方法和一个完整的例子　367

第　19 章积分的方法II　373

19.1　应用三角恒等式的积分　373

19.2　关于三角函数的幂的积分　376

19.2.1　sin 或cos 的幂　376

19.2.2　tan 的幂　378

19.2.3　sec 的幂　379

19.2.4　cot 的幂　381

19.2.5　csc 的幂　382

19.2.6　约化公式　382

19.3　关于三角换元法的积分　384

19.3.1　类型1：pa2 x2　384

19.3.2　类型2：px2   a2　386

19.3.3　类型3：px2 a2　387

19.3.4　配方和三角换元法　388

19.3.5　关于三角换元法的总结　389

19.3.6　平方根的方法和三角换元法　389

19.4　积分技巧总结　391

第　20 章反常积分：基本概念　393

20.1　收敛和发散　393

20.1.1　反常积分的一些例子　395

20.1.2　其他破裂点　397

20.2　关于无穷区间上的积分　398

20.3　比较判别法(理论)　400

20.4　极限比较判别法(理论)　402

20.4.1　函数互为渐近线　402

20.4.2　关于判别法的陈述　404

20.5　p 判别法(理论)　405

20.6　绝√收敛判别法　407

第　21 章反常积分：如何解题　410

21.1　如何开始　410

21.1.1　拆分积分　410

21.1.2　如何处理负函数值　411

21.2　积分判别法总结　413

21.3　常见函数在∞ 和-∞附近的表现　414

21.3.1　多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现　415

21.3.2　三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现　417

21.3.3　指数在∞和-∞附近的表现　419

21.3.4　对数在∞ 附近的表现　422

21.4　常见函数在0 附近的表现　426

21.4.1　多项式和多项式型函数在0 附近的表现　426

21.4.2　三角函数在0 附近的表现　427

21.4.3　指数函数在0 附近的表现　429

21.4.4　对数函数在0 附近的表现　430

21.4.5　更一般的函数在0 附近的表现　431

21.5　如何应对不在0 或1 处的瑕点　432

第　22 章数列和级数：基本概念　434

22.1　数列的收敛和发散　434

22.1.1　数列和函数的联系　435

22.1.2　两个重要数列　436

22.2　级数的收敛与发散　438

22.3　第n 项判别法(理论)　442

22.4　无穷级数和反常积分的性质　443

22.4.1　比较判别法(理论)　443

22.4.2　极限比较判别法(理论)　444

22.4.3　p 判别法(理论)　444

22.4.4　绝√收敛判别法　445

22.5　级数的新判别法　447

22.5.1　比式判别法(理论)　447

22.5.2　根式判别法(理论)　449

22.5.3　积分判别法(理论)　450

22.5.4　交错级数判别法(理论)　453

第　23 章求解级数问题　455

23.1　求几何级数的值　455

23.2　应用第n 项判别法　457

23.3　应用比式判别法　457

23.4　应用根式判别法　461

23.5　应用积分判别法　462

23.6　应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法　463

23.7　应对含负项的级数　468

第　24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　472

24.1　近似值和泰勒多项式　472

24.1.1　重访线性化　472

24.1.2　二次近似　473

24.1.3　高阶近似　474

24.1.4　泰勒定理　475

24.2　幂级数和泰勒级数　478

24.2.1　一般幂级数　479

24.2.2　泰勒级数和麦克劳林级数　481

24.2.3　泰勒级数的收敛性　481

24.3　一个有用的极限　485

第　25 章求解估算问题　487

25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　487

25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　488

25.3　用误差项估算问题　491

25.3.1　第一个例子　492

25.3.2　第二个例子　494

25.3.3　第三个例子　495

25.3.4　第四个例子　496

25.3.5　第五个例子　497

25.3.6　误差项估算的一般方法　499

25.4　误差估算的另一种方法　499

第　26 章泰勒级数和幂级数：如何解题　502

26.1　幂级数的收敛性　502

26.1.1　收敛半径　502

26.1.2　求收敛半径和收敛区域　504

26.2　合成新的泰勒级数　508

26.2.1　代换和泰勒级数　509

26.2.2　泰勒级数求导　511

26.2.3　泰勒级数求积分　512

26.2.4　泰勒级数相加和相减　514

26.2.5　泰勒级数相乘　515

26.2.6　泰勒级数相除　516

26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　517

26.4　利用麦克劳林级数求极限　519

第　27 章参数方程和极坐标　523

27.1　参数方程　523

27.2　极坐标　528

27.2.1　极坐标与笛卡儿坐标互换　529

27.2.2　极坐标系中画曲线　530

27.2.3　求极坐标曲线的切线　534

27.2.4　求极坐标曲线围成的面积　535

第　28 章复数　538

28.1　基础　538

28.2　复平面　541

28.3　复数的高次幂　544

28.4　解zn = w　545

28.5　解ez = w　550

28.6　一些三角级数　552

28.7　欧拉恒等式和幂级数　554

第　29 章体积、弧长和表面积　556

29.1　旋转体的体积　556

29.1.1　圆盘法　557

29.1.2　壳法　558

29.1.3　总结和变式　560

29.1.4　变式1：区域在曲线和y 轴之间　561

29.1.5　变式2：两曲线间的区域　562

29.1.6　变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转　565

29.2　一般立体体积　567

29.3　弧长　571

29.4　旋转体的表面积　574

第 30 章微分方程　578

30.1　微分方程导论　578

30.2　可分离变量的一阶微分方程　579

30.3　一阶线性方程　581

30.4　常系数微分方程　585

30.4.1　解一阶齐次方程　586

30.4.2　解二阶齐次方程　586

30.4.3　为什么特征二次方程适用　587

30.4.4　非齐次方程和特解　588

30.4.5　求特解　589

30.4.6　求特解的例子　590

30.4.7　解决yP 和yH 间的冲突　592

30.4.8　IVP　593

30.5　微分方程建模　595

附录A　极限及其证明　598

A.1　极限的正式定义　598

A.2　由原极限产生新极限　602

A.3　极限的其他情形　606

A.4　连续与极限　611

A.5　再谈指数函数和对数函数　616

A.6　微分与极限　618

A.7　泰勒近似定理的证明　627

附录B　估算积分　629

B.1　使用条纹估算积分　629

B.2　梯形法则　632

B.3　辛普森法则　634

B.4　近似的误差　636

符号列表　640

索引　643

《简单微积分　学校未教过的超简易入门技巧》第 1章积分是什么　1

积分的存在意义　2

积分应用的基础　2

所有图形都与长方形相通　5

近似的方法　8

和变为了积分　13

何为\"接近精确值\"　18

两个思想实验　20

椭圆的面积　20

地球的体积　25

切口的秘密　32

卡瓦列利原理　32

三分之一的原理　37

圆锥的体积　45

球的体积　48

球的表面积　54

感觉和逻辑　59

初中入学考试中的积分　59

像小学生那样求圆环体体积　67

把甜甜圈变成蛇的方法　69

帕普斯-古尔丁定理　73

第　2章微分是什么　77

微分存在的意义　78

分析钻石的价格　78

\"亮出指数\"的理由　86

乘积的微分公式　94

从未知到已知　97

商的微分公式　100

再次扩展幂函数的微分公式　102

丰富多彩的函数世界　105

山峰和山谷　105

了解切线　109

根据单调性表画函数图像　113

最大值和最小值、极大值和极小值　117

手绘函数图像的意义　119

存在休息平台的函数　121

有预谋地使用微分　128

理想的冰激凌蛋卷筒　128

\"忽略\"与\"不可忽略\"的界线　138

第3章　探寻微积分的可能性　141

1800年后的真相　142

反军队式学习法　142

伟大的发现会成为未来的常识　144

基本定理的使用方法　152

填坑　160

自然常数从何而来　160

无限接近于精确的值　164

关键在于根号　166

转换思路能行得通吗　169

指数函数出现了　175

让关系更清晰　178

唯一一个微分后不会发生变化的函数　181

弯曲也没问题　184

测量曲线的长度　184

简洁的悬链线公式　187

验证项链的长度　194

微积分的真身　199

微分的可能性　199

微分相关的冒险　202

近似和忽略　205

后记　207

尾注　209

《微积分入门　修订版》

第 1章实数　1

1.1　序.　1

1.2　实数　6

1.3　实数的加法与减法　12

1.4　数列的极限, 实数的乘法、除法　16

1.5　实数的性质　27

1.6　平面上点的集合　43

习题　60

第 2章函数　61

2.1　函数　61

2.2　连续函数　65

2.3　指数函数和对数函数　72

2.4　三角函数　77

习题　88

第3章微分法则　89

3.1　微分系数和导函数　89

3.2　微分法则　93

3.3　导函数的性质　100

3.4　高阶微分　106

习题　127

第4章积分法　128

4.1　定积分　128

4.2　原函数和不定积分　137

4.3　广义积分　148

4.4　积分变量的变换　164

习题　171

第5章无穷级数　173

5.1　绝对收敛与条件收敛　173

5.2　收敛的判别法　179

5.3　一致收敛　188

5.4　无穷级数的微分和积分　195

5.5　幂级数　203

5.6　无穷乘积　217

习题　223

第6章多元函数　224

6.1　二元函数　224

6.2　微分法则　233

6.3　极限的顺序　260

6.4　n 元函数　273

习题　279

第7章积分法则(多元)　280

7.1　积分　280

7.2　广义积分　292

7.3　积分变量的变换　316

习题　349

第8章积分法则(续)　350

8.1　隐函数　350

8.2　n 元函数的积分　357

8.3　积分变量的变换　378

习题　399

第9章曲线和曲面　400

9.1　曲线　400

9.2　曲面的面积　411

习题　428

附录　429

解答,提示　432

索引.452

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

目　录

前言　1

第　1章牛顿　7

　广义二项展开式　8

　逆级数　11

　《分析学》中求面积的法则　14

　牛顿的正弦级数推导　18

　参考文献　22

第 2章莱布尼茨　24

　变换定理　27

　莱布尼茨级数　35

　参考文献　40

第3章　伯努利兄弟　41

　雅各布和调和级数　43

　雅各布和他的垛积级数　47

　约翰和xx　52

　参考文献　57

第4章　欧拉　59

　欧拉的一个微分　60

　欧拉的一个积分　62

　n的欧拉估值　63

　引人注目的求和　67

　伽玛函数　72

　参考文献　76

第5章　第一次波折　78

　参考文献　86

第6章　柯西　87

　极限、连续性和导数　88

　介值定理　91

　中值定理　94

　积分和微积分基本定理　97

　两个收敛判别法　102

　参考文献　107

第7章　黎曼　109

　狄利克雷函数　112

　黎曼积分　114

　黎曼病态函数　121

　黎曼重排定理　126

　参考文献　129

第8章　刘维尔　131

　代数数与超越数　132

　刘维尔不等式　136

　刘维尔超越数　141

　参考文献　145

第9章　魏尔斯特拉斯　146

　回到基本问题　148

　四个重要定理　158

　魏尔斯特拉斯病态函数　160

　参考文献　170

第　10章第二次波折　171

　参考文献　181

第　11章康托尔　182

　实数的完备性　183

　区间的不可数性　186

　再论超越数的存在　190

　参考文献　195

第　12章沃尔泰拉　196

　沃尔泰拉病态函数　198

　汉克尔的函数分类　200

　病态函数的限度　204

　参考文献　210

第　13章贝尔　211

　无处稠密集　212

　贝尔分类定理　215

　若干应用　219

　贝尔的函数分类　225

　参考文献　228

第　14章勒贝格　230

　回归黎曼积分　231

　零测度　232

　集合的测度　239

　勒贝格积分　243

　参考文献　250

后记　252
内容简介:
《微积分溯源：伟大思想的历程》


  本书讲述了一种理解和学习微积分的新思路。书中通过探索微积分发展历程背后的数学动机，展现了这一数学基本工具的魅力。作者根据自己研究和教授微积分的丰富经验，结合多年从事中学和大学数学教育的心得体会，对传统的微积分教学方式，即大多按照从极限、微分、积分到级数的顺序进行学习的方法提出了异议，探讨了一种更有趣、更易被接受和理解的学习方法。作者写过不少富有启发意义的微积分教材，此次利用自己在教学与研究方面的特长，写成了这本内容丰富、风格有趣的\"小书\"。本书适合中学以上水平的数学爱好者、学生和教师阅读。
  《普林斯顿微积分读本（修订版）》


  本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
  《简单微积分学校未教过的超简易入门技巧》


  本书为微积分入门科普读物，书中以微积分的\"思考方法\"为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需\"轻松阅读\"便可以理解微积分原理的入门书。
  《微积分入门修订版》

   微积分入门为日本数学家小平邦彦晚年创作的微积分名作，有别于一般的微积分教科书，本书突出\"严密\"与\"直观\"的结合，重视数学中的\"和谐\"与\"美感\"，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。

  本书是小平邦彦为后人留下的一份重要文化财富，不仅值得数学专业人士研读，对于需要微积分知识的其他理工科学生和专业人员也具有深刻启示。
  《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

  本书介绍了十多位数学家：牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格。然而，这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。作者选择介绍了历史上的若干杰作（重要定理），优雅地呈现了微积分从创建到完善的漫长、曲折的过程。《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》兼具趣味性和学术性，对基础知识的要求很低，可作为本科生、研究生和数学工作者的微积分补充读物，更是数学爱好者的佳肴。
作者简介:
[美] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

美国玛卡莱斯特学院数学教授，数学教学委员会主任，曾担任美国数学协会（MAA）会长，著有《高等微积分》《实分析的基本方法》等数学教材，并获得美国数学协会的多项奖项，如1994年阿勒格尼山脉杰出教学奖、1999年贝肯巴赫图书奖等。主要研究领域为数论、组合学、特殊函数等。[美]阿德里安·班纳（Adrian Banner）澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司执行官兼投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。[日]神永正博（Kunihiko Kodaira）

1967年出生于东京，理学博士，日本东北学院大学教授。曾在京都大学研究生院理学研究所（数学方向）进行博士后期课程学习。主要研究方向为解析学（作为量子力学基础方程式的薛定谔方程）以及密码理论。主要作品有《看穿谎言的统计学》《数学思考法》，另外审阅翻译的作品有《漫画统计学入门》等。[日]小平邦彦（Kunihiko Kodaira）

1915—1997，20世纪日本数学家，日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等高校任教授，在调和积分理论、代数几何学和复分析几何学等诸多领域做出了贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《几何世界的邀请》《惰者集：数学与数感》等。

[美]邓纳姆（William Dunham），世界出名的数学史学家，现为美国穆伦堡学院教授。Dunrlam教授著述颇丰，较有影响的名作还有Journey Through Genius：The Great Theorems of athematics和The Mathematical LIniverse，后者被美国出版商协会评为1994.年年度数学书。Dunham还分别于1992年、1997年、2006年获得美国数学协会颁发的George Polya奖、Trevor Evarls奖和Lester R.Ford奖。
目录:
《微积分溯源：伟大思想的历程》

目录

第一章累积　1

1.1　阿基米德和球的体积　1

1.2　圆的面积和阿基米德原理　6

1.3　阿拉伯的贡献　10

1.4　二项式定理　15

1.5　西欧　17

1.6　卡瓦列里和积分公式　20

1.7　费马的积分和托里拆利的奇异几何体　23

1.8　速度和路程　27

1.9　艾萨克·贝克曼　30

1.10　伽利略·伽利雷和天体运动问题　32

1.11　解决天体运动问题　35

1.12　开普勒第二定律　38

1.13　牛顿的《自然哲学之数学原理》　41

第二章　变化率　44

2.1　插值　45

2.2　纳皮尔和他的自然对数表　50

2.3　代数的出现　57

2.4　解析几何　63

2.5　皮埃尔·德·费马　67

2.6　沃利斯和他的《无穷小算术》　73

2.7　牛顿和基本定理　79

2.8　莱布尼茨和伯努利家族　82

2.9　函数、微分方程　85

2.10　弦振动问题　90

2.11　势能　93

2.12　电磁学中的数学　94

第三章　部分和序列　98

3.1　17 世纪的级数　100

3.2　泰勒级数　104

3.3　欧拉　109

3.4　达朗贝尔、敛散性问题　114

3.5　拉格朗日余项定理　117

3.6　傅里叶级数　123

第四章　不等式的代数　129

4.1　极限和不等式　130

4.2　柯西和他的 -溆镅浴 132

4.3　完备性　136

4.4　连续性　138

4.5　一致收敛性　141

4.6　积分　144

第五章　分析　149

5.1　黎曼积分　149

5.2　微积分基本定理的反例　151

5.3　魏尔施特拉斯和椭圆函数　156

5.4　实数的子集　161

5.5　附言: 20 世纪　165

第六章　对微积分教学的思考　169

6.1　积分讲授为累积　169

6.2　导数讲授为变化率　171

6.3　无穷级数讲授为部分和序列　173

6.4　极限讲授为不等式的代数　174

第七章　最后的话　177

译后记　179

参考文献　185

《普林斯顿微积分读本（修订版）》

第　1 章函数、图像和直线　1

1.1　函数　1

1.1.1　区间表示法　3

1.1.2　求定义域　3

1.1.3　利用图像求值域　4

1.1.4　垂线检验　5

1.2　反函数　6

1.2.1　水平线检验　7

1.2.2　求反函数　8

1.2.3　限制定义域　8

1.2.4　反函数的反函数　9

1.3　函数的复合　10

1.4　奇函数和偶函数　12

1.5　线性函数的图像　14

1.6　常见函数及其图像　16

第　2 章三角学回顾　21

2.1　基本知识　21

2.2　扩展三角函数定义域　23

2.2.1　ASTC 方法　25

2.2.2　[0, 2餧以外的三角函数　27

2.3　三角函数的图像　29

2.4　三角恒等式　32

第 3 章极限导论　34

3.1　极限：基本思想　34

3.2　左极限与右极限　36

3.3　何时不存在极限　37

3.4　在∞和-∞处的极限　38

3.5　关于渐近线的两个常见误解　41

3.6　三明治定理　43

3.7　极限的基本类型小结　45

第 4 章求解多项式的极限问题　47

4.1　x → a 时的有理函数的极限　47

4.2　x → a 时的平方根的极限　50

4.3　x → ∞时的有理函数的极限　51

4.4　x → ∞时的多项式型函数的极限　56

4.5　x → -∞ 时的有理函数的极限　59

4.6　函数的极限　61

第 5 章连续性和可导性　63

5.1　连续性　63

5.1.1　在一点处连续　63

5.1.2　在一个区间上连续　64

5.1.3　连续函数的一些例子　65

5.1.4　介值定理　67

5.1.5　一个更难的介值定理例子　69

5.1.6　连续函数的最大值和最小值　70

5.2　可导性　71

5.2.1　平均速率　72

5.2.2　位移和速度　72

5.2.3　瞬时速度　73

5.2.4　速度的图像阐释　74

5.2.5　切线　75

5.2.6　导函数　77

5.2.7　作为极限比的导数　78

5.2.8　线性函数的导数　80

5.2.9　二阶导数和更高阶导数　80

5.2.10　何时导数不存在　81

5.2.11　可导性和连续性　82

第 6 章求解微分问题　84

6.1　使用定义求导　84

6.2　用更好的办法求导　87

6.2.1　函数的常数倍　88

6.2.2　函数和与函数差　88

6.2.3　通过乘积法则求积函数的导数　88

6.2.4　通过商法则求商函数的导数　90

6.2.5　通过链式求导法则求复合函数的导数　91

6.2.6　那个难以处理的例子　94

6.2.7　乘积法则和链式求导法则的理由　96

6.3　求切线方程　98

6.4　速度和加速度　99

6.5　导数伪装的极限　101

6.6　分段函数的导数　103

6.7　直接画出导函数的图像　106

第 7 章三角函数的极限和导数　111

7.1　三角函数的极限　111

7.1.1　小数的情况　111

7.1.2　问题的求解--小数的情况　113

7.1.3　大数的情况　117

7.1.4　其他的\" 情况　120

7.1.5　一个重要极限的证明　121

7.2　三角函数的导数　124

7.2.1　求三角函数导数的例子　127

7.2.2　简谐运动　128

7.2.3　一个有趣的函数　129

第 8 章隐函数求导和相关变化率　132

8.1　隐函数求导　132

8.1.1　技巧和例子　133

8.1.2　隐函数求二阶导　137

8.2　相关变化率　138

8.2.1　一个简单的例子　139

8.2.2　一个稍难的例子　141

8.2.3　一个更难的例子　142

8.2.4　一个非常难的例子　144

第 9 章指数函数和对数函数　148

9.1　基础知识　148

9.1.1　指数函数的回顾　148

9.1.2　对数函数的回顾　149

9.1.3　对数函数、指数函数及反函数　150

9.1.4　对数法则　151

9.2　e 的定义　153

9.2.1　一个有关复利的问题　153

9.2.2　问题的答案　154

9.2.3　更多关于e 和对数函数的内容　156

9.3　对数函数和指数函数求导　158

9.4　求解指数函数或对数函数的极限　161

9.4.1　涉及e 的定义的极限　161

9.4.2　指数函数在0 附近的行为　162

9.4.3　对数函数在1 附近的行为　164

9.4.4　指数函数在∞或-∞附近的行为　164

9.4.5　对数函数在∞附近的行为　167

9.4.6　对数函数在0 附近的行为　168

9.5　取对数求导法　169

9.6　指数增长和指数衰变　173

9.6.1　指数增长　174

9.6.2　指数衰变　176

9.7　双曲函数　178

第 10 章反函数和反三角函数　181

10.1　导数和反函数　181

10.1.1　使用导数证明反函数存在　181

10.1.2　导数和反函数：可能出现的问题　182

10.1.3　求反函数的导数　183

10.1.4　一个综合性例子　185

10.2　反三角函数　187

10.2.1　反正弦函数　187

10.2.2　反余弦函数　190

10.2.3　反正切函数　192

10.2.4　反正割函数　194

10.2.5　反余割函数和反余切函数　195

10.2.6　计算反三角函数　196

10.3　反双曲函数　199

第 11 章导数和图像　202

11.1　函数的极值　202

11.1.1　全局极值和局部极值　202

11.1.2　极值定理　203

11.1.3　求全局**大值和**小值　204

11.2　罗尔定理　206

11.3　中值定理　209

11.4　二阶导数和图像　212

11.5　对导数为零点的分类　215

11.5.1　使用一次导数　215

11.5.2　使用二阶导数　217

第　12 章绘制函数图像　219

12.1　建立符号表格　219

12.1.1　建立一阶导数的符号表格　221

12.1.2　建立二阶导数的符号表格　222

12.2　绘制函数图像的全面方法　224

12.3　例题　225

12.3.1　一个不使用导数的例子　225

12.3.2　完整的方法：例一　227

12.3.3　完整的方法：例二　229

12.3.4　完整的方法：例三　231

12.3.5　完整的方法：例四　234

第　13 章优化和线性化　239

13.1　优化　239

13.1.1　一个简单的优化例子　239

13.1.2　优化问题：一般方法　240

13.1.3　一个优化的例子　241

13.1.4　另一个优化的例子　242

13.1.5　在优化问题中使用隐函数求导　246

13.1.6　一个较难的优化例子　246

13.2　线性化　249

13.2.1　线性化问题：一般方法　251

13.2.2　微分　252

13.2.3　线性化的总结和例子　254

13.2.4　近似中的误差　256

13.3　牛顿法　258

第　14 章洛必达法则及极限问题总结　263

14.1　洛必达法则　263

14.1.1　类型A：0/0　263

14.1.2　类型A：±∞/±∞　266

14.1.3　类型B1: (∞-∞)　267

14.1.4　类型B2: (0 x±∞)　269

14.1.5　类型C: 1±∞，00 或∞0　270

14.1.6　洛必达法则类型的总结　272

14.2　关于极限的总结　273

第　15 章积分　276

15.1　求和符号　276

15.1.1　一个有用的求和　279

15.1.2　伸缩求和法　280

15.2　位移和面积　283

15.2.1　三个简单的例子　283

15.2.2　一段更常规的旅行　285

15.2.3　有向面积　287

15.2.4　连续的速度　288

15.2.5　两个特别的估算　291

第　16 章定积分　293

16.1　基本思想　293

16.2　定积分的定义　297

16.3　定积分的性质　301

16.4　求面积　305

16.4.1　求通常的面积　306

16.4.2　求解两条曲线之间的面积　308

16.4.3　求曲线与y 轴所围成的面积　310

16.5　估算积分　313

16.6　积分的平均值和中值定理　316

16.7　不可积的函数　319

第　17 章微积分基本定理　321

17.1　用其他函数的积分来表示的函数　321

17.2　微积分的第一基本定理　324

17.3　微积分的第二基本定理　328

17.4　不定积分　329

17.5　怎样解决问题：微积分的第一基本定理　331

17.5.1　变形1：变量是积分下限　332

17.5.2　变形2：积分上限是一个函数　332

17.5.3　变形3：积分上下限都为函数　334

17.5.4　变形4：极限伪装成导数　335

17.6　怎样解决问题：微积分的第二基本定理　336

17.6.1　计算不定积分　336

17.6.2　计算定积分　339

17.6.3　面积和　341

17.7　技术要点　344

17.8　微积分第一基本定理的证明　345

第　18 章积分的方法I　347

18.1　换元法　347

18.1.1　换元法和定积分　350

18.1.2　如何换元　353

18.1.3　换元法的理论解释　355

18.2　分部积分法　356

18.3　部分分式　361

18.3.1　部分分式的代数运算　361

18.3.2　对每一部分积分　365

18.3.3　方法和一个完整的例子　367

第　19 章积分的方法II　373

19.1　应用三角恒等式的积分　373

19.2　关于三角函数的幂的积分　376

19.2.1　sin 或cos 的幂　376

19.2.2　tan 的幂　378

19.2.3　sec 的幂　379

19.2.4　cot 的幂　381

19.2.5　csc 的幂　382

19.2.6　约化公式　382

19.3　关于三角换元法的积分　384

19.3.1　类型1：pa2 x2　384

19.3.2　类型2：px2 a2　386

19.3.3　类型3：px2 a2　387

19.3.4　配方和三角换元法　388

19.3.5　关于三角换元法的总结　389

19.3.6　平方根的方法和三角换元法　389

19.4　积分技巧总结　391

第　20 章反常积分：基本概念　393

20.1　收敛和发散　393

20.1.1　反常积分的一些例子　395

20.1.2　其他破裂点　397

20.2　关于无穷区间上的积分　398

20.3　比较判别法(理论)　400

20.4　极限比较判别法(理论)　402

20.4.1　函数互为渐近线　402

20.4.2　关于判别法的陈述　404

20.5　p 判别法(理论)　405

20.6　绝√收敛判别法　407

第　21 章反常积分：如何解题　410

21.1　如何开始　410

21.1.1　拆分积分　410

21.1.2　如何处理负函数值　411

21.2　积分判别法总结　413

21.3　常见函数在∞ 和-∞附近的表现　414

21.3.1　多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现　415

21.3.2　三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现　417

21.3.3　指数在∞和-∞附近的表现　419

21.3.4　对数在∞ 附近的表现　422

21.4　常见函数在0 附近的表现　426

21.4.1　多项式和多项式型函数在0 附近的表现　426

21.4.2　三角函数在0 附近的表现　427

21.4.3　指数函数在0 附近的表现　429

21.4.4　对数函数在0 附近的表现　430

21.4.5　更一般的函数在0 附近的表现　431

21.5　如何应对不在0 或1 处的瑕点　432

第　22 章数列和级数：基本概念　434

22.1　数列的收敛和发散　434

22.1.1　数列和函数的联系　435

22.1.2　两个重要数列　436

22.2　级数的收敛与发散　438

22.3　第n 项判别法(理论)　442

22.4　无穷级数和反常积分的性质　443

22.4.1　比较判别法(理论)　443

22.4.2　极限比较判别法(理论)　444

22.4.3　p 判别法(理论)　444

22.4.4　绝√收敛判别法　445

22.5　级数的新判别法　447

22.5.1　比式判别法(理论)　447

22.5.2　根式判别法(理论)　449

22.5.3　积分判别法(理论)　450

22.5.4　交错级数判别法(理论)　453

第　23 章求解级数问题　455

23.1　求几何级数的值　455

23.2　应用第n 项判别法　457

23.3　应用比式判别法　457

23.4　应用根式判别法　461

23.5　应用积分判别法　462

23.6　应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法　463

23.7　应对含负项的级数　468

第　24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　472

24.1　近似值和泰勒多项式　472

24.1.1　重访线性化　472

24.1.2　二次近似　473

24.1.3　高阶近似　474

24.1.4　泰勒定理　475

24.2　幂级数和泰勒级数　478

24.2.1　一般幂级数　479

24.2.2　泰勒级数和麦克劳林级数　481

24.2.3　泰勒级数的收敛性　481

24.3　一个有用的极限　485

第　25 章求解估算问题　487

25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　487

25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　488

25.3　用误差项估算问题　491

25.3.1　第一个例子　492

25.3.2　第二个例子　494

25.3.3　第三个例子　495

25.3.4　第四个例子　496

25.3.5　第五个例子　497

25.3.6　误差项估算的一般方法　499

25.4　误差估算的另一种方法　499

第　26 章泰勒级数和幂级数：如何解题　502

26.1　幂级数的收敛性　502

26.1.1　收敛半径　502

26.1.2　求收敛半径和收敛区域　504

26.2　合成新的泰勒级数　508

26.2.1　代换和泰勒级数　509

26.2.2　泰勒级数求导　511

26.2.3　泰勒级数求积分　512

26.2.4　泰勒级数相加和相减　514

26.2.5　泰勒级数相乘　515

26.2.6　泰勒级数相除　516

26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　517

26.4　利用麦克劳林级数求极限　519

第　27 章参数方程和极坐标　523

27.1　参数方程　523

27.2　极坐标　528

27.2.1　极坐标与笛卡儿坐标互换　529

27.2.2　极坐标系中画曲线　530

27.2.3　求极坐标曲线的切线　534

27.2.4　求极坐标曲线围成的面积　535

第　28 章复数　538

28.1　基础　538

28.2　复平面　541

28.3　复数的高次幂　544

28.4　解zn = w　545

28.5　解ez = w　550

28.6　一些三角级数　552

28.7　欧拉恒等式和幂级数　554

第　29 章体积、弧长和表面积　556

29.1　旋转体的体积　556

29.1.1　圆盘法　557

29.1.2　壳法　558

29.1.3　总结和变式　560

29.1.4　变式1：区域在曲线和y 轴之间　561

29.1.5　变式2：两曲线间的区域　562

29.1.6　变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转　565

29.2　一般立体体积　567

29.3　弧长　571

29.4　旋转体的表面积　574

第 30 章微分方程　578

30.1　微分方程导论　578

30.2　可分离变量的一阶微分方程　579

30.3　一阶线性方程　581

30.4　常系数微分方程　585

30.4.1　解一阶齐次方程　586

30.4.2　解二阶齐次方程　586

30.4.3　为什么特征二次方程适用　587

30.4.4　非齐次方程和特解　588

30.4.5　求特解　589

30.4.6　求特解的例子　590

30.4.7　解决yP 和yH 间的冲突　592

30.4.8　IVP　593

30.5　微分方程建模　595

附录A　极限及其证明　598

A.1　极限的正式定义　598

A.2　由原极限产生新极限　602

A.3　极限的其他情形　606

A.4　连续与极限　611

A.5　再谈指数函数和对数函数　616

A.6　微分与极限　618

A.7　泰勒近似定理的证明　627

附录B　估算积分　629

B.1　使用条纹估算积分　629

B.2　梯形法则　632

B.3　辛普森法则　634

B.4　近似的误差　636

符号列表　640

索引　643

《简单微积分　学校未教过的超简易入门技巧》第 1章积分是什么　1

积分的存在意义　2

积分应用的基础　2

所有图形都与长方形相通　5

近似的方法　8

和变为了积分　13

何为\"接近精确值\"　18

两个思想实验　20

椭圆的面积　20

地球的体积　25

切口的秘密　32

卡瓦列利原理　32

三分之一的原理　37

圆锥的体积　45

球的体积　48

球的表面积　54

感觉和逻辑　59

初中入学考试中的积分　59

像小学生那样求圆环体体积　67

把甜甜圈变成蛇的方法　69

帕普斯-古尔丁定理　73

第　2章微分是什么　77

微分存在的意义　78

分析钻石的价格　78

\"亮出指数\"的理由　86

乘积的微分公式　94

从未知到已知　97

商的微分公式　100

再次扩展幂函数的微分公式　102

丰富多彩的函数世界　105

山峰和山谷　105

了解切线　109

根据单调性表画函数图像　113

最大值和最小值、极大值和极小值　117

手绘函数图像的意义　119

存在休息平台的函数　121

有预谋地使用微分　128

理想的冰激凌蛋卷筒　128

\"忽略\"与\"不可忽略\"的界线　138

第3章　探寻微积分的可能性　141

1800年后的真相　142

反军队式学习法　142

伟大的发现会成为未来的常识　144

基本定理的使用方法　152

填坑　160

自然常数从何而来　160

无限接近于精确的值　164

关键在于根号　166

转换思路能行得通吗　169

指数函数出现了　175

让关系更清晰　178

唯一一个微分后不会发生变化的函数　181

弯曲也没问题　184

测量曲线的长度　184

简洁的悬链线公式　187

验证项链的长度　194

微积分的真身　199

微分的可能性　199

微分相关的冒险　202

近似和忽略　205

后记　207

尾注　209

《微积分入门　修订版》

第 1章实数　1

1.1　序.　1

1.2　实数　6

1.3　实数的加法与减法　12

1.4　数列的极限, 实数的乘法、除法　16

1.5　实数的性质　27

1.6　平面上点的集合　43

习题　60

第 2章函数　61

2.1　函数　61

2.2　连续函数　65

2.3　指数函数和对数函数　72

2.4　三角函数　77

习题　88

第3章微分法则　89

3.1　微分系数和导函数　89

3.2　微分法则　93

3.3　导函数的性质　100

3.4　高阶微分　106

习题　127

第4章积分法　128

4.1　定积分　128

4.2　原函数和不定积分　137

4.3　广义积分　148

4.4　积分变量的变换　164

习题　171

第5章无穷级数　173

5.1　绝对收敛与条件收敛　173

5.2　收敛的判别法　179

5.3　一致收敛　188

5.4　无穷级数的微分和积分　195

5.5　幂级数　203

5.6　无穷乘积　217

习题　223

第6章多元函数　224

6.1　二元函数　224

6.2　微分法则　233

6.3　极限的顺序　260

6.4　n 元函数　273

习题　279

第7章积分法则(多元)　280

7.1　积分　280

7.2　广义积分　292

7.3　积分变量的变换　316

习题　349

第8章积分法则(续)　350

8.1　隐函数　350

8.2　n 元函数的积分　357

8.3　积分变量的变换　378

习题　399

第9章曲线和曲面　400

9.1　曲线　400

9.2　曲面的面积　411

习题　428

附录　429

解答,提示　432

索引.452

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

目　录

前言　1

第　1章牛顿　7

　广义二项展开式　8

　逆级数　11

　《分析学》中求面积的法则　14

　牛顿的正弦级数推导　18

　参考文献　22

第 2章莱布尼茨　24

　变换定理　27

　莱布尼茨级数　35

　参考文献　40

第3章　伯努利兄弟　41

　雅各布和调和级数　43

　雅各布和他的垛积级数　47

　约翰和xx　52

　参考文献　57

第4章　欧拉　59

　欧拉的一个微分　60

　欧拉的一个积分　62

　n的欧拉估值　63

　引人注目的求和　67

　伽玛函数　72

　参考文献　76

第5章　第一次波折　78

　参考文献　86

第6章　柯西　87

　极限、连续性和导数　88

　介值定理　91

　中值定理　94

　积分和微积分基本定理　97

　两个收敛判别法　102

　参考文献　107

第7章　黎曼　109

　狄利克雷函数　112

　黎曼积分　114

　黎曼病态函数　121

　黎曼重排定理　126

　参考文献　129

第8章　刘维尔　131

　代数数与超越数　132

　刘维尔不等式　136

　刘维尔超越数　141

　参考文献　145

第9章　魏尔斯特拉斯　146

　回到基本问题　148

　四个重要定理　158

　魏尔斯特拉斯病态函数　160

　参考文献　170

第　10章第二次波折　171

　参考文献　181

第　11章康托尔　182

　实数的完备性　183

　区间的不可数性　186

　再论超越数的存在　190

　参考文献　195

第　12章沃尔泰拉　196

　沃尔泰拉病态函数　198

　汉克尔的函数分类　200

　病态函数的限度　204

　参考文献　210

第　13章贝尔　211

　无处稠密集　212

　贝尔分类定理　215

　若干应用　219

　贝尔的函数分类　225

　参考文献　228

第　14章勒贝格　230

　回归黎曼积分　231

　零测度　232

　集合的测度　239

　勒贝格积分　243

　参考文献　250

后记　252