高等泛函分析

作者: 朱健民 , 黄建华 , 刘易成

出版社: 清华大学出版社

出版时间: 2022-10

版次: 1

ISBN: 9787302619215

定价: 48.00

装帧: 其他

开本: 16开

纸张: 胶版纸

分类: 教材教辅考试>教材>大学教材>工程技术

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本书由线性泛函分析初步、非线性算子微积分、算子半群基础、拓扑度、不动点理论及其在微分方程中的应用和算子半群理论在微分方程中的应用等六部分组成，为研究线性和非线性问题提供基本的数学工具和方法。 1.朱健民，教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为调和分析与微分方程，现为教育高等学校大学数学课程教学指导委员会委员，从事大学数学教学29年，先后讲授本科生高等数学、线性代数、复变函数及研究生高等泛函分析等课程，出版高等数学（高等教育出版社，入选十二五国家规划教材）和高等数学课程实验（科学出版社），获国家教学成果二等奖一项，2004年被评为全国优秀教师。

2.黄建华，教授，博士，博士生导师，主要从事非线性偏微分方程及其随机动力系统定性研究，先后讲授本科生高等数学、偏微分方程和动力系统等课程，获湖南省自然科学奖二等奖一项，出版教材和著作4本。

3.刘易成，副教授，博士，硕士生导师，研究方向为微分方程与动力系统，讲授高等数学、常微分方程、泛函微分方程等课程，博士论文被评为全国优秀博士论文提名论文。

第1章线性泛函分析初步

1.1距离空间及紧性

1．1．1距离空间的概念

1．1．2收敛及完备性

1．1．3紧性与全有界

1．1．4压缩映射原理

1．2赋范线性空间与线性算子

1．2．1赋范线性空间

1．2．2内积空间

1．2．3有界线性算子

1．2．4对偶空间

1．3泛函分析基本定理

1．3．1基本定理

1．3．2自反空间

1．3．3全连续算子

1．4紧算子的谱

1．4．1基本概念

1．4．2谱的简单性质

1．4．3紧算子的谱

1．5向量值解析函数与谱映照定理

1．5．1向量值解析函数的概念

1．5．2向量值解析函数的性质

1．5．3谱映照定理

第1章练习题

第2章非线性算子微积分

2．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．2连续算子的性质

2．1．3全连续算子的概念

2．1．4全连续算子的性质与等价刻画

2．2抽象函数的积分

2．2．1抽象函数的Riemann积分

2．2．2Bochner积分

2．3非线性算子的可微性与解析性

2．3．1Gateaux微分与导数

2．3．2Fréchet微分与导数

2．3．3偏导数

2．3．4解析算子

2．4多重线性算子与高阶微分

2．4．1n重线性算子

2．4．2高阶微分与高阶导数

2．5非线性算子的Taylor公式与幂级数展开

2．5．1非线性算子的Taylor公式

2．5．2抽象幂级数及其收敛性

2．5．3解析算子的幂级数展开

2．6梯度算子与单调算子

2．6．1非线性泛函的梯度

2．6．2单调算子与凸泛函

2．7隐函数定理

2．7．1Cp映射

2．7．2隐函数存在定理

2．7．3隐函数的可微性

2．7．4Newton迭代方法

2．8泛函极值及条件

2．8．1最速降线问题及其求解

2．8．2泛函极值的必要条件

2．8．3下半弱连续条件与泛函极值的存在性

2．8．4最陡下降法

2．8．5PalaisSmale条件与泛函极值存在性

第2章练习题

第3章算子半群基础

3．1算子半群的基本概念与性质

3．1．1算子半群的概念与性质

3．1．2C0半群的性质

3．1．3一致连续半群的等价刻画

3．2无穷小生成元的特征

3．2．1C0半群的无穷小生成元的特征

3．2．2耗散算子与压缩C0半群

3．2．3应用

3．3解析半群与扇形算子

3．4分数幂算子与分数幂空间

3．4．1分数幂算子

3．4．2分数幂空间

第3章练习题

第4章拓扑度

4．1预备知识

4．1．1连续映射规范化与光滑逼近

4．1．2临界点与Sard定理

4．1．3散度与积分

4．2Brouwer度

4．2．1C1类映射的拓扑度的导数表示

4．2．2C1类映射的拓扑度的积分表示

4．2．3Brouwer度及其基本定理

4．2．4零点指数与乘积定理

4．3LeraySchauder度

4．3．1关于推广Brouwer度的讨论

4．3．2LeraySchauder度的建立

4．4拓扑度的应用

4．4．1Brouwer不动点定理

4．4．2LeraySchauder不动点定理

4．4．3连续映射为满射的条件

4．4．4在微分方程中的应用

第4章练习题

第5章不动点理论及其在微分方程中的应用

5．1不动点理论概述

5．1．1经典不动点定理

5．1．2线性算子扰动下的压缩型不动点定理

5．1．3混杂压缩型不动点定理

5．1．4集值不动点定理

5．2不动点理论在时滞微分方程的应用

5．2．1特定函数空间中的不动点定理

5．2．2时滞脉冲边值问题

5．2．3生物数学中的几个时滞模型

5．2．4时滞积分微分方程

5．3不动点理论在分数阶微分方程的应用

5．3．1分数阶微分方程的存在唯一性

5．3．2带扩散影响的分数阶微分方程

5．3．3分数阶边值问题解的存在唯一性

5．4不动点理论在Banach空间中的微分方程的应用

5．4．1波动方程的时间周期解

5．4．2时滞反应扩散方程的时间周期解

第5章练习题

第6章算子半群理论在微分方程中的应用

6．1算子半群理论在泛函微分方程中的应用

6．1．1泛函微分方程的局部解

6．1．2泛函微分方程的整体解

6．2算子半群理论在半线性抛物方程中的应用

6．2．1齐次线性方程初值问题

6．2．2非齐次线性方程初值问题

6．2．3非线性方程的初值问题

6．3算子半群理论在半线性波方程中的应用

6．3．1半线性波方程初边值问题

6．3．2SineGordon方程初边值问题

6．4算子半群理论在时滞反应扩散方程中的应用

6．4．1时滞反应扩散方程的适定性

6．4．2时滞反应扩散方程的算子半群与无穷小生成元

6．4．3两个例子

第6章练习题

参考文献
内容简介:
本书由线性泛函分析初步、非线性算子微积分、算子半群基础、拓扑度、不动点理论及其在微分方程中的应用和算子半群理论在微分方程中的应用等六部分组成，为研究线性和非线性问题提供基本的数学工具和方法。
作者简介:
1.朱健民，教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为调和分析与微分方程，现为教育高等学校大学数学课程教学指导委员会委员，从事大学数学教学29年，先后讲授本科生高等数学、线性代数、复变函数及研究生高等泛函分析等课程，出版高等数学（高等教育出版社，入选十二五国家规划教材）和高等数学课程实验（科学出版社），获国家教学成果二等奖一项，2004年被评为全国优秀教师。

2.黄建华，教授，博士，博士生导师，主要从事非线性偏微分方程及其随机动力系统定性研究，先后讲授本科生高等数学、偏微分方程和动力系统等课程，获湖南省自然科学奖二等奖一项，出版教材和著作4本。

3.刘易成，副教授，博士，硕士生导师，研究方向为微分方程与动力系统，讲授高等数学、常微分方程、泛函微分方程等课程，博士论文被评为全国优秀博士论文提名论文。
目录:

第1章线性泛函分析初步

1.1距离空间及紧性

1．1．1距离空间的概念

1．1．2收敛及完备性

1．1．3紧性与全有界

1．1．4压缩映射原理

1．2赋范线性空间与线性算子

1．2．1赋范线性空间

1．2．2内积空间

1．2．3有界线性算子

1．2．4对偶空间

1．3泛函分析基本定理

1．3．1基本定理

1．3．2自反空间

1．3．3全连续算子

1．4紧算子的谱

1．4．1基本概念

1．4．2谱的简单性质

1．4．3紧算子的谱

1．5向量值解析函数与谱映照定理

1．5．1向量值解析函数的概念

1．5．2向量值解析函数的性质

1．5．3谱映照定理

第1章练习题

第2章非线性算子微积分

2．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．2连续算子的性质

2．1．3全连续算子的概念

2．1．4全连续算子的性质与等价刻画

2．2抽象函数的积分

2．2．1抽象函数的Riemann积分

2．2．2Bochner积分

2．3非线性算子的可微性与解析性

2．3．1Gateaux微分与导数

2．3．2Fréchet微分与导数

2．3．3偏导数

2．3．4解析算子

2．4多重线性算子与高阶微分

2．4．1n重线性算子

2．4．2高阶微分与高阶导数

2．5非线性算子的Taylor公式与幂级数展开

2．5．1非线性算子的Taylor公式

2．5．2抽象幂级数及其收敛性

2．5．3解析算子的幂级数展开

2．6梯度算子与单调算子

2．6．1非线性泛函的梯度

2．6．2单调算子与凸泛函

2．7隐函数定理

2．7．1Cp映射

2．7．2隐函数存在定理

2．7．3隐函数的可微性

2．7．4Newton迭代方法

2．8泛函极值及条件

2．8．1最速降线问题及其求解

2．8．2泛函极值的必要条件

2．8．3下半弱连续条件与泛函极值的存在性

2．8．4最陡下降法

2．8．5PalaisSmale条件与泛函极值存在性

第2章练习题

第3章算子半群基础

3．1算子半群的基本概念与性质

3．1．1算子半群的概念与性质

3．1．2C0半群的性质

3．1．3一致连续半群的等价刻画

3．2无穷小生成元的特征

3．2．1C0半群的无穷小生成元的特征

3．2．2耗散算子与压缩C0半群

3．2．3应用

3．3解析半群与扇形算子

3．4分数幂算子与分数幂空间

3．4．1分数幂算子

3．4．2分数幂空间

第3章练习题

第4章拓扑度

4．1预备知识

4．1．1连续映射规范化与光滑逼近

4．1．2临界点与Sard定理

4．1．3散度与积分

4．2Brouwer度

4．2．1C1类映射的拓扑度的导数表示

4．2．2C1类映射的拓扑度的积分表示

4．2．3Brouwer度及其基本定理

4．2．4零点指数与乘积定理

4．3LeraySchauder度

4．3．1关于推广Brouwer度的讨论

4．3．2LeraySchauder度的建立

4．4拓扑度的应用

4．4．1Brouwer不动点定理

4．4．2LeraySchauder不动点定理

4．4．3连续映射为满射的条件

4．4．4在微分方程中的应用

第4章练习题

第5章不动点理论及其在微分方程中的应用

5．1不动点理论概述

5．1．1经典不动点定理

5．1．2线性算子扰动下的压缩型不动点定理

5．1．3混杂压缩型不动点定理

5．1．4集值不动点定理

5．2不动点理论在时滞微分方程的应用

5．2．1特定函数空间中的不动点定理

5．2．2时滞脉冲边值问题

5．2．3生物数学中的几个时滞模型

5．2．4时滞积分微分方程

5．3不动点理论在分数阶微分方程的应用

5．3．1分数阶微分方程的存在唯一性

5．3．2带扩散影响的分数阶微分方程

5．3．3分数阶边值问题解的存在唯一性

5．4不动点理论在Banach空间中的微分方程的应用

5．4．1波动方程的时间周期解

5．4．2时滞反应扩散方程的时间周期解

第5章练习题

第6章算子半群理论在微分方程中的应用

6．1算子半群理论在泛函微分方程中的应用

6．1．1泛函微分方程的局部解

6．1．2泛函微分方程的整体解

6．2算子半群理论在半线性抛物方程中的应用

6．2．1齐次线性方程初值问题

6．2．2非齐次线性方程初值问题

6．2．3非线性方程的初值问题

6．3算子半群理论在半线性波方程中的应用

6．3．1半线性波方程初边值问题

6．3．2SineGordon方程初边值问题

6．4算子半群理论在时滞反应扩散方程中的应用

6．4．1时滞反应扩散方程的适定性

6．4．2时滞反应扩散方程的算子半群与无穷小生成元

6．4．3两个例子

第6章练习题

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